varför är ln(x) uppåt begränsad
Hej,
hur kommer det sig att ln(x) är uppåt begränsat på intervallet 0<x<3, är det för vi begränsar värdemängden för att vår definitionsmängd är begränsad? Definitionen lyder ju att f sägs vara uppåt begränsad om det existerar ett tal M så att .Men Gäller det då att om vi har en funktion f som är strikt monoton, så har den en uppåt begränsning om vi lägger restriktioner på definitionsmängden?
De enda kontinuerliga funktionerna som inte är begränsade på ändliga intervall är de som växer på ett obegränsat sätt.
Något man kan kolla på är derivatan hos en funktion. Om derivatan är ändlig på ett intervall så är funktionens tillväxt begränsad på intervallet och därmed dess värden begränsade.
Ln har derivatan 1/x. Detta är ändligt så länge x inte är 0 så lns tillväxt är begränsad både upp och ner på intervall som 1<x<3.
Om intervallet innehåller punkter där derivatan är oändlig eller odefinierad så kan funktionen dock bli obegränsad. Detta är vad som sker vid x=0 för Ln vilket motsvarar att funktionen inte är nedåt begränsad där eftersom dess graf skjuter iväg mot -oändligt.
Notera dock att en funktion kan ha obegränsad tillväxt/minskning i en punkt utan att nödvändigtvis vara obegränsad i dess omgivning. Standardexempel är sqrt(x) som inte är obegränsad vid 0 trots att derivatan är det.
SeriousCephalopod skrev:De enda kontinuerliga funktionerna som inte är begränsade på ändliga intervall är de som växer på ett obegränsat sätt.
Och ändliga och öppna (bevisa att en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall måste vara begränsat!)
Något man kan kolla på är derivatan hos en funktion. Om derivatan är ändlig på ett intervall så är funktionens tillväxt begränsad på intervallet och därmed dess värden begränsade.
Öppet/slutet?
Notera dock att en funktion kan ha obegränsad tillväxt/minskning i en punkt utan att nödvändigtvis vara obegränsad i dess omgivning. Standardexempel är sqrt(x) som inte är obegränsad vid 0 trots att derivatan är det.
En annan jag tänker på direkt är cirkeln!
De enda kontinuerliga funktionerna som inte är begränsade på ändliga intervall är de som växer på ett obegränsat sätt.
Så det finns inga kontinuerliga funktioner som inte är diskontinuerliga på ett slutet intervall [a,b],
med andra ord, om vi har en funktion som annars är kontinuerlig så kan den inte vara helt öbegränsad på ett slutet intervall?
Men om funktionen i sig har diskontinuitet eller punkter som är odefinierade så kan de ske att den inte har en under eller över begränsning, men finns det funktioner som varken uppåt eller nedåt begränsningar i ett slutet invervall pga diskotinuitet?
