Varför är inte (i^2)^(1/3) samma sak som (-1)^(1/3) när jag skriver in i miniräknaren får jag olika. (Matematik/Allmänna diskussioner)

Enligt WolframAlpha är det samma sak. Exakt hur slog du in det på räknaren? Vad får du för svar i de olika fallen? Kan din räknare räkna med komplexa tal i andra fall?

Om du skrivit precis som du skrivit här, med alla paranteser. Så borde du få samma svar.

Det är såklart skillnad på (-1)^(1/3) och -(1)^(1/3) men det är ju inte det du skrivit.

Smaragdalena skrev :
Enligt WolframAlpha är det samma sak. Exakt hur slog du in det på räknaren? Vad får du för svar i de olika fallen? Kan din räknare räkna med komplexa tal i andra fall?

Johanspeed skrev :
Smaragdalena skrev :
Enligt WolframAlpha är det samma sak. Exakt hur slog du in det på räknaren? Vad får du för svar i de olika fallen? Kan din räknare räkna med komplexa tal i andra fall?

Miniräknaren har gjort rätt.

Den har beräknat tredjeroten ur det komplexa talet $i^2=-1$ , dvs tredjeroten ur cos(pi) + i*sin(pi), vilket är lika med cos(pi/3) + i*sin(pi/3).

(Vi har ju att cos(pi/3) = 1/2 = 0,5 och sin(pi/3) = rotenur(3)/2 = 0,866025...)

Sedan finns det även fler komplexa tal som uppfyller det villkoret, men som miniräknaren inte tagit fram, nämligen cos(pi) + i*sin(pi) och cos(5pi/3) + i*sin(5pi/3).

Yngve skrev :
Johanspeed skrev :
Smaragdalena skrev :
Enligt WolframAlpha är det samma sak. Exakt hur slog du in det på räknaren? Vad får du för svar i de olika fallen? Kan din räknare räkna med komplexa tal i andra fall?
Miniräknaren har gjort rätt.
Den har beräknat tredjeroten ur det komplexa talet $i^2=-1$ , dvs tredjeroten ur cos(pi) + i*sin(pi), vilket är lika med cos(pi/3) + i*sin(pi/3).
(Vi har ju att cos(pi/3) = 1/2 = 0,5 och sin(pi/3) = rotenur(3)/2 = 0,866025...)
Sedan finns det även fler komplexa tal som uppfyller det villkoret, men som miniräknaren inte tagit fram, nämligen cos(pi) + i*sin(pi) och cos(5pi/3) + i*sin(5pi/3).

Jag antar att du får fram ditt värde för (i^2)^(1/3) mha eulers formel. Fortfarande, hur förklarar det att man inte kan skriva att (i^2)^(1/3)=(-1)^(1/3)=-1.

Johanspeed skrev :
Jag antar att du får fram ditt värde för (i^2)^(1/3) mha eulers formel. Fortfarande, hur förklarar det att man inte kan skriva att (i^2)^(1/3)=(-1)^(1/3)=-1.

Jo det kan du göra.

Ekvationen $z = (i^{2})^{\frac{1}{3}}$ har som sagt tre lösningar, nämligen

$z = \cos (\frac{π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{π}{3})$
$z = \cos (π) + i \cdot \sin (π)$
$z = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Den lösning du skriver är nummer två , eftersom $c os (π) + i \cdot \sin (π) = - 1$ .

Yngve skrev :
Johanspeed skrev :
Jag antar att du får fram ditt värde för (i^2)^(1/3) mha eulers formel. Fortfarande, hur förklarar det att man inte kan skriva att (i^2)^(1/3)=(-1)^(1/3)=-1.
Jo det kan du göra.
Ekvationen $z = (i^{2})^{\frac{1}{3}}$ har som sagt tre lösningar, nämligen
$z = \cos (\frac{π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{π}{3})$
$z = \cos (π) + i \cdot \sin (π)$
$z = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$
Den lösning du skriver är nummer två , eftersom $c os (π) + i \cdot \sin (π) = - 1$ .

Ok, varför finns det bara tre lösningar till ekvationen? Yngve du skriver att z=((i^2)^(1/3)) har tre lösningar men vad är värdet av ((i^2)^(1/3))?

Johanspeed skrev :

Ok, varför finns det bara tre lösningar till ekvationen? Yngve du skriver att z=((i^2)^(1/3)) har tre lösningar men vad är värdet av ((i^2)^(1/3))?

Egentligen skrev jag fel. Det finns oändligt många lösningar till ekvationen, nämligen

z = cos(pi/3 + n*2pi/3) + i*sin(pi/3 + n*2pi/3).

När jag lite slarvigt skrev att det finns tre lösningar menade jag att det finns tre lösningar vars argument ligger mellan 0 och 2pi, dvs de lösningar där n = 0, 1 respektive 2.

---------

Värdet av (i^2)^(1/3) är som sagt inte entydigt definierat, men om du endast söker de reella tal x som uppfyller villkoret x = (i^2)^(1/3) så är svaret x = -1.

----------

Jag tror att miniräknaren helt enkelt

tolkar -1 som ett reellt tal och därför söker resultat bland de reella talen vid beräkningen av (-1)^(1/3).
tolkar i^2 som ett komplext tal och därför söker resultat bland de komplexa talen vid beräkningen av (i^2)^(1/3).

Yngve skrev :
Johanspeed skrev :
Ok, varför finns det bara tre lösningar till ekvationen? Yngve du skriver att z=((i^2)^(1/3)) har tre lösningar men vad är värdet av ((i^2)^(1/3))?
Egentligen skrev jag fel. Det finns oändligt många lösningar till ekvationen, nämligen
z = cos(pi/3 + n*2pi/3) + i*sin(pi/3 + n*2pi/3).
När jag lite slarvigt skrev att det finns tre lösningar menade jag att det finns tre lösningar vars argument ligger mellan 0 och 2pi, dvs de lösningar där n = 0, 1 respektive 2.
---------
Värdet av (i^2)^(1/3) är som sagt inte entydigt definierat, men om du endast söker de reella tal x som uppfyller villkoret x = (i^2)^(1/3) så är svaret x = -1.
----------
Jag tror att miniräknaren helt enkelt
tolkar -1 som ett reellt tal och därför söker resultat bland de reella talen vid beräkningen av (-1)^(1/3).
tolkar i^2 som ett komplext tal och därför söker resultat bland de komplexa talen vid beräkningen av (i^2)^(1/3).

Jag förstår inte varför (i^2)^(1/3) inte är entydigt definierat. För mig är det som att skriva att t.ex (2)^(1/2) har flera värden. Om (i^2)^(1/3) inte är entydigt definierat borde inte det innebära att man inte kan skriva

f(x)=((xi)^2)^(1/3) eftersom att det ger flera värden på f(x) för samma x?

Johanspeed skrev :

Jag förstår inte varför (i^2)^(1/3) inte är entydigt definierat. För mig är det som att skriva att t.ex (2)^(1/2) har flera värden. Om (i^2)^(1/3) inte är entydigt definierat borde inte det innebära att man inte kan skriva
f(x)=((xi)^2)^(1/3) eftersom att det ger flera värden på f(x) för samma x?

Om man bara jobbar med reella tal så är det inga problem med att prata om upphöjt i en tredjedel. Det blir inte så heller några direkta problem att prata om vad $x^{1/2}$ ska betyda, man har ett naturligt val och säga att det ska vara den positiva reella lösningen.

När man rör sig bland de komplexa talen blir det mer komplicerat, det finns inget direkt naturligt val, det finns så att säga inga "positiva" komplexa tal. Av denna anledning när man börjar prata om $z^{1/3}$ så måste vara mer specifik vad man pratar om, man måste helt enkelt explicit berätta vad man avser. Men det finns bara tre val som är vettiga att välja bland, någon av lösningarna till $w^3 = z$ är det som bör avses med $z^{1/3}$ .