Varför är en rotationsmatris inte diagonaliserbar?

För att vara diagonaliserbar måste en $(n\times n)$-matris ha ett egenrum med precis n dimensioner. En rotationsmatris egenrum har olika många dimensioner, beroende på matrisens storlek, men aldrig tillräckligt många. En 2D-rotationsmatris saknar helt egenvektorer, en 3D-rotationsmatris har endast egenvektorer längs linjen vi roterar kring, osv. 

Om det känns oklart, fundera på hur rotationer ser ut i olika dimensioner. Tänk på koordinataxlarna, vad händer med dem när vi roterar? För att kunna diagonalisera matrisen måste n oberoende vektorer vara kvar på samma plats efter rotationen. Det fungerar inte om vårt rum har precis n dimensioner. :)

I 2-D är väl en rotationsmatris svarande mot rotation 180˚ diagonaliserbar, den är ju redan på diagonalform.

I 3-D är väl enhetsmatrisen en diagonaliserbar rotationsmatris, men kanske för trivialt för att räknas. Men rotation 180˚ runt någon axel borde ge diagonaliserbar matris på liknande sätt som 2-D-fallet.

Hmmm, utmärkt poäng! Det tänkte jag inte på! 😅

Alla rotationsmatriser är diagonaliserbara - över mängden av komplexa matriser.

I två dimensioner har en rotation med $\theta$egenvärden $e^{i\theta }$och $e^{-i\theta }$.

I tre dimensioner har de samma egenvärden samt 1.

Det förklarar också varför de endast i undantagsfall är diagonaliserbara över mängden av reella matriser.

Smutstvätt skrev:

För att vara diagonaliserbar måste en $(n\times n)$-matris ha ett egenrum med precis n dimensioner. En rotationsmatris egenrum har olika många dimensioner, beroende på matrisens storlek, men aldrig tillräckligt många. En 2D-rotationsmatris saknar helt egenvektorer, en 3D-rotationsmatris har endast egenvektorer längs linjen vi roterar kring, osv. 

Om det känns oklart, fundera på hur rotationer ser ut i olika dimensioner. Tänk på koordinataxlarna, vad händer med dem när vi roterar? För att kunna diagonalisera matrisen måste n oberoende vektorer vara kvar på samma plats efter rotationen. Det fungerar inte om vårt rum har precis n dimensioner. :)

Är det kravet för diagonaliserbarhet, att det är lika många egenvektorer som dimensioner?

Vad Smutstvätt menar är att du kan finna n stycken linjärt oberoende egenvektorer. Dvs du kan finna en bas som bara innehåller egenvektorer. Det är ekvivalent med att matrisen är diagonaliserbar.

PATENTERAMERA skrev:

Vad Smutstvätt menar är att du kan finna n stycken linjärt oberoende egenvektorer. Dvs du kan finna en bas som bara innehåller egenvektorer. Det är ekvivalent med att matrisen är diagonaliserbar.

ja justeja