Varför är det möjligt att skriva matriser som kolumner?

"The essence of Linear Algebra", en kunglig spellista av 3blue1brown på Youtube som förklarar all geometri. Tror det du undrar förklaras i den videon som heter "Linear Transformations". 

Basically, en 2x2-matris kolonner avgör vad som kommer hända med basvektorerna (och därmed alla vektorer som finns ty de är kombinationer och/eller skalade versioner av dessa).

jakobpwns skrev:

"The essence of Linear Algebra", en kunglig spellista av 3blue1brown på Youtube som förklarar all geometri. Tror det du undrar förklaras i den videon som heter "Linear Transformations". 

Basically, en 2x2-matris kolonner avgör vad som kommer hända med basvektorerna (och därmed alla vektorer som finns ty de är kombinationer och/eller skalade versioner av dessa).

Förstår inte vad du menar med att en 2x2-matris kolonner avgör vad som kommer hända basvektorer? Kan du utveckla?

Har redan sett 3b1b:s video två gånger utan att det sitter, så tror inte det är en bra idé att kolla en gång till xD.

Jodå jag kan inte förklara det bättre än han. https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE skippa till 3.35. Det är verkligen inget trivialt det här men det är såhär det fungerar, om du har en matris som ser ut såhär

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ så gör den ingenting, identitetsmatrisen I, för att det där är precis hur basvektorerna ser ut. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right] och \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.  Stoppar man in andra saker i kolonnerna så beskriver det var i koordinatsystemet basvektorerna landar efter avbildningen. 

jakobpwns skrev:

Jodå jag kan inte förklara det bättre än han. https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE skippa till 3.35. Det är verkligen inget trivialt det här men det är såhär det fungerar, om du har en matris som ser ut såhär

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ så gör den ingenting, identitetsmatrisen I, för att det där är precis hur basvektorerna ser ut. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right] och \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.  Stoppar man in andra saker i kolonnerna så beskriver det var i koordinatsystemet basvektorerna landar efter avbildningen. 

Kollade på videon och insåg att jag inte hade sett den, men förstår fortfarande inte hur den förklarar saken

frågan är egentligen hur man kan dra ut en 2x2 matris till en 1x4 kolumn

Dualitetsförhållandet skrev:

frågan är egentligen hur man kan dra ut en 2x2 matris till en 1x4 kolumn

det vet jag inte riktigt vad det skulle föreställa eller vad det skulle vara bra för

Här gör de så t.ex.

Ojdå, vilken intressant fråga, frågan verkar handla om vektorrummet $\mathbb{R}^{2\times 2}$ alltså inte $\mathbb{R}^3$ eller $\mathbb{R}^4$ eller något $\mathbb{R}^n$. 3B1B video är inte relevant här.

Det här har du nog inte sett förrut, så det är dags att byta perspektiv! Vektorrummet vi pratar om nu är alltså $\mathbb{R}^{2\times 2}$ vilket består av alla 2x2 matriser och spänns upp av fyra vektorer, nämligen $E_{??}$ som de skriver i lösningen. 

Vi kan alltså transformera matriser, med matriser! På samma sätt som kolonnerna i en matris avgörs av vad den avbildar basvektorerna så avgörs nu A av vart den skickar basvektorerna $E_{??}$

Blir det tydligare...?

Qetsiyah skrev:

Ojdå, vilken intressant fråga, frågan verkar handla om vektorrummet $\mathbb{R}^{2\times 2}$ alltså inte $\mathbb{R}^3$ eller $\mathbb{R}^4$ eller något $\mathbb{R}^n$. 3B1B video är inte relevant här.

Det här har du nog inte sett förrut, så det är dags att byta perspektiv! Vektorrummet vi pratar om nu är alltså $\mathbb{R}^{2\times 2}$ vilket består av alla 2x2 matriser och spänns upp av fyra vektorer, nämligen $E_{??}$ som de skriver i lösningen. 

Vi kan alltså transformera matriser, med matriser! På samma sätt som kolonnerna i en matris avgörs av vad den avbildar basvektorerna så avgörs nu A av vart den skickar basvektorerna $E_{??}$

Blir det tydligare...?

Gillar entusiasmen i svaret!! :))

Jo det gör saken mycket tydligare, är dock fortfarande osäker på hur matrisen för T kan vara en 4x4 matris när den appliceras på 2x2 matriser.

oyea, älskar matte.

Jag vet typ inte heller, men efter att ha tänkt i några minuter tror jag...

Att vi genom ett ytterligare perspektivbyte (hehe) kan se vektorrummet $\mathbb{R}^{2\times2}$ som vektorrummet $\mathbb{R}^{4}$ istället (de är isomorfa). Och matrisen A i uppgiftsfacit specificerar en linjär avbildning $T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$, 

(Det gäller att ha rätt ordning) Isomorfin mellan $\mathbb{R}^{2\times2}$ och $\mathbb{R}^4$ är helt enkelt $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]$