Varför används funktioner med en högre grad än 1?

Du kastar upp en boll i skyn. Den kommer till en början ha en rätt hög fart uppåt, innan gravitationen får den att sakna ner innan den når sin maxpunkt, för att därefter öka i hastighet efterhand som den faller neråt.

Detta kan beskrivas med en andragradsfunktion.

Bedinsis skrev:

Du kastar upp en boll i skyn. Den kommer till en början ha en rätt hög fart uppåt, innan gravitationen får den att sakna ner innan den når sin maxpunkt, för att därefter öka i hastighet efterhand som den faller neråt.

Detta kan beskrivas med en andragradsfunktion.

okej, kan man säga att andragradsfunktioner (och de med högre grad) utgör motsatsen till räta linjer, dvs där det finns proportionalitet?

Nej det skulle man inte. Eller hur tänker du att det skulle gå till?

LumpyFishSwimming skrev:

Bedinsis skrev:

Du kastar upp en boll i skyn. Den kommer till en början ha en rätt hög fart uppåt, innan gravitationen får den att sakna ner innan den når sin maxpunkt, för att därefter öka i hastighet efterhand som den faller neråt.

Detta kan beskrivas med en andragradsfunktion.

okej, kan man säga att andragradsfunktioner (och de med högre grad) utgör motsatsen till räta linjer, dvs där det finns proportionalitet?

Nej, om något skulle vara "motsatsen till räta linjen" så skulle det vara en omvänd proportionalitet, d v s y = k/x.

Smaragdalena skrev:

LumpyFishSwimming skrev:

Visa föregående citat

Bedinsis skrev:

Du kastar upp en boll i skyn. Den kommer till en början ha en rätt hög fart uppåt, innan gravitationen får den att sakna ner innan den når sin maxpunkt, för att därefter öka i hastighet efterhand som den faller neråt.

Detta kan beskrivas med en andragradsfunktion.

okej, kan man säga att andragradsfunktioner (och de med högre grad) utgör motsatsen till räta linjer, dvs där det finns proportionalitet?

Nej, om något skulle vara "motsatsen till räta linjen" så skulle det vara en omvänd proportionalitet, d v s y = k/x.

hänger inte med. I exemplet med bollen som kastas upp i luften så ändras ju hastigheten beroende på var den befinner sig i luften, därav att jag tänkte att det inte finns någon proportionalitet. På vilket sätt visar detta nyttan med en andragradsfunktion i så fall?

Om du kastar en boll snett uppåt och tittar på bollbanan från sidan så kommer den att se ut ungefär så här:

Denna form kallas parabel. Du kanske har hört talas om begreppet kastparabel?

Just den här parabeln är grafen till en andragradsfunktion, närmare bestämt y = 2,5x - x²/4.

Du kommer att ha stor nytta av dessa typer av funktioner om du läser Fysik 1 senare.

När man böjer något elastiskt så uppstår ofta en tredjegradskurva.

Om du har en kvadrat med sidlängd x cm så är kvadratens area A = x²  cm².

Det är en enkel andragradsfunktion.

Inom den två- och tredimensionella geometrin används andra- och tredjegradsfunktioner flitigt.

Titta i ditt formelblad:

• En cirkel har arean $A=\pi r^2$, vilket är en andragradsfunktion där den oberoende variabeln är radien $r$.
• Ett klot har volymen $V=\frac{4\pi r^3}{3}$, vilket är en tredjegradsfunktion där den oberoende variabeln är radien $r$.

En parabolantenn är formad som en parabel (andragradskurva) som har roterat runt y-axeln. Den har egenskapen att alla strålar som kommer in mot parabolen reflekteras mot en och samma punkt (fokus).

(Inte precis alla strålar, men alla som kommer från en viss riktning.)

Yngve skrev:

Om du har en kvadrat med sidlängd x cm så är kvadratens area A = x²  cm².

Det är en enkel andragradsfunktion.

men ska inte en andragradsfunktion alltid ha två lösningar? i det exemplet blir det bara en lösning, tänker jag

Andra exempel på icke-linjära funktioner:

Om du sätter in 100 kronor på banken och där får en årsränta på 3 % så kommer dina pengar att ha vuxit till 100•1,03^x efter x år.

Här har vi en exponentialfunktion.

Rita gärna upp grafen till y = 100•1,03^x med ett digitalt hjälpmedel och bärja spara 😉

LumpyFishSwimming skrev:

men ska inte en andragradsfunktion alltid ha två lösningar? i det exemplet blir det bara en lösning, tänker jag

Bra där!

En adragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 (reella) lösningar.

Exempel:

• x² = 4 har de två lösningarna x = 2 och x = -2
• x² = 0 har den enda lösningen x = 0
• x² = -1 har ingen (reell) lösning.

Yngve skrev:

LumpyFishSwimming skrev:

men ska inte en andragradsfunktion alltid ha två lösningar? i det exemplet blir det bara en lösning, tänker jag

Bra där!

En adragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 (reella) lösningar.

Exempel:

• x² = 4 har de två lösningarna x = 2 och x = -2
• x² = 0 har den enda lösningen x = 0
• x² = -1 har ingen (reell) lösning.

okej, men exemplet med en kvadrat, kan det verkligen skrivas x upphöjt till 2 då? en kvadrat kan väl inte ha negativa sidor?..

Yngve skrev:

Andra exempel på icke-linjära funktioner:

Om du sätter in 100 kronor på banken och där får en årsränta på 3 % så kommer dina pengar att ha vuxit till 100•1,03^x efter x år.

Här har vi en exponentialfunktion.

Rita gärna upp grafen till y = 100•1,03^x med ett digitalt hjälpmedel och bärja spara 😉

// Bra exempel!

LumpyFishSwimming skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

LumpyFishSwimming skrev:

Visa föregående citat

men ska inte en andragradsfunktion alltid ha två lösningar? i det exemplet blir det bara en lösning, tänker jag

Bra där!

En adragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 (reella) lösningar.

Exempel:

• x² = 4 har de två lösningarna x = 2 och x = -2
• x² = 0 har den enda lösningen x = 0
• x² = -1 har ingen (reell) lösning.

okej, men exemplet med en kvadrat, kan det verkligen skrivas x upphöjt till 2 då? en kvadrat kan väl inte ha negativa sidor?..

Nej precis! Ekvationen har två lösningar, men det är bara den ena som "mejkar sense" i verkligheten.

Smaragdalena skrev:

LumpyFishSwimming skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

LumpyFishSwimming skrev:

men ska inte en andragradsfunktion alltid ha två lösningar? i det exemplet blir det bara en lösning, tänker jag

Bra där!

En adragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 (reella) lösningar.

Exempel:

• x² = 4 har de två lösningarna x = 2 och x = -2
• x² = 0 har den enda lösningen x = 0
• x² = -1 har ingen (reell) lösning.

okej, men exemplet med en kvadrat, kan det verkligen skrivas x upphöjt till 2 då? en kvadrat kan väl inte ha negativa sidor?..

Nej precis! Ekvationen har två lösningar, men det är bara den ena som "mejkar sense" i verkligheten.

 

men är det negativa svaret fortfarande giltligt som ett svar då?

men är det negativa svaret fortfarande giltligt som ett svar då?

Som lösning på ekvationen? Ja

Som svar på frågan? Nej.

LumpyFishSwimming skrev:

Visa föregående citat

okej, men exemplet med en kvadrat, kan det verkligen skrivas x upphöjt till 2 då? en kvadrat kan väl inte ha negativa sidor?..

men är det negativa svaret fortfarande giltligt som ett svar då?

Exemplet med en kvadrat var inte formulerat som en ekvation utan istället som en funktion.

Exempel med en funktion:

Jag har en kvadrat vars sidlängd ör 3 cm.

Fråga: Vad är kvadratens area?

Svar: Eftersom arean kan beskrivas som en funktion av sidlängden x genom A = x² så är arean 3² = 9 cm².

=========

Exempel med en ekvation:

Jag har en kvadrat vars area är 9 cm².

Fråga: Vilken längd har kvadratens sidor?

Svar: Om vi kallar kvadratens sidlängd x så kan vi ställa upp följande ekvation: x² = 9.

Denna ekvation har lösningarna x = $\pm$ 3 cm, men eftersom en sidlängd aldrig kan vara mindre än 0 så är den enda relevanta lösningen x = 3 cm.

Yngve skrev:

LumpyFishSwimming skrev:

Visa föregående citat

okej, men exemplet med en kvadrat, kan det verkligen skrivas x upphöjt till 2 då? en kvadrat kan väl inte ha negativa sidor?..

men är det negativa svaret fortfarande giltligt som ett svar då?

Exemplet med en kvadrat var inte formulerat som en ekvation utan istället som en funktion.

Exempel med en funktion:

Jag har en kvadrat vars sidlängd ör 3 cm.

Fråga: Vad är kvadratens area?

Svar: Eftersom arean kan beskrivas som en funktion av sidlängden x genom A = x² så är arean 3² = 9 cm².

=========

Exempel med en ekvation:

Jag har en kvadrat vars area är 9 cm².

Fråga: Vilken längd har kvadratens sidor?

Svar: Om vi kallar kvadratens sidlängd x så kan vi ställa upp följande ekvation: x² = 9.

Denna ekvation har lösningarna x = $\pm$ 3 cm, men eftersom en sidlängd aldrig kan vara mindre än 0 så är den enda relevanta lösningen x = 3 cm.

jag förstår. Tusen tack!