Varför?

Tänk dig en limpa. Tänk dig att du skivar limpan i lika tjocka skivor. Är du med på att volymen av hela limpan är lika med summan av volymen för skiva 1 + volymen av skiva 2 + ... + volymen av sista skivan? Volymen av en skiva är arean av skivan gånger skivans tjocklek. Detta stämmer bättre ju tunnare skivan är, och om det är oändligt många oändligt tunna skivor blir volymen exakt.

Det är likadant med integralen. Dela in arean i rektanglar med höjden f(x) och bredden $\Delta$x. Arean är lika med summan av areorna för alla dessa rektanglar. Om man gör oändligt många oändligt smala rektanglar, har man fått fram integralen.

Jag vet att mitt exempel är i tre dimensioner och arean är i två dimensioner, men vi lever ju i ett tredimensionellt universum.

För står inte fram till meningen "Detta stämmer bättre ju..." osv. Varför stämmer det mer desto tunnare skivan blir och sedan desto mindre rektanglarna blir?

Tänk på brödskivorna närmast ändarna, som är mycket större i ena kanten än i andra kanten. Då blir ju volymen av brödskivan för liten om man använder arean i den lilla änden och för stor om man använder arean i den stora änden. Felet blir mindre ju fler och tunnare skivor man har.

Fast om du delar bitarna i tunna delar kommer fortfarande dem bitarna som är mindre vid ändan vara lika små? 

Fotbollskillen12 skrev:

Fast om du delar bitarna i tunna delar kommer fortfarande dem bitarna som är mindre vid ändan vara lika små? 

Ja, det stämmer, men volymen kommer att bli mer och mer lik den verkliga volymen ju fler (och tunnare) skivorna blir, och om man kunde göra oändligt många oändligt tunna skivor, skulle volymen bli precis rätt.

Detta är den uppfattningen jag har än så länge så om du ska bestämma arean för ett område under en kurva kan du dela upp den i flera rektanglar med en viss höjd och bas och om du låter basen gå mot noll dvs rektanglarna blir tunnare och tunnare så kommer detta leda till arean. Stämmer detta? Och visar detta att den primitiva funktionen motsvarar arean?