Värden på konstanter och integral

"För vilka värden på konstanterna a och b gäller det att $\int \frac{a x + b}{(x - 1) {(x + 1)}^{2}} d x$ är ren rationell funktion?"

I facit står:

Funktionen blir rationell om faktorn x − 1 försvinner, eftersom då kommer man inte få någon term av grad -1 vid partialbråksuppdelning. Om man inte har någon sådan term kommer den primitiva funktionen inte innehålla några logaritmer, utan bara rationellauttryck.

Skribenten exemplifierar inte riktigt det han säger. Jag har därmed väldigt svårt att förstå vad detta ska innebära. Jättetacksam över ytterligare förklaringar!

En rationell funktion är en funktion som enbart består av polynom dividerat med varandra. Inga trigonometriska, exponentiella, logaritmiska eller rotuttryck tillåtna! Problemet är ju att integralen innehåller $x-1$ , vilket har antiderivatan $\ln{(x-1)}$ , vilket inte är tillåtet.
När vi gör partiell bråkuppdelning på $\displaystyle\frac{ax+b}{(x-1)(x+1)^2}$ kommer vi få en term med formen: $\displaystyle \frac{A}{x-1}$ för något tal $A$ . Denna funktion kommer ha en primitiv funktion som innehåller logaritmer, vilket vi inte får ha. Därför måste $x-1$ försvinna från uttrycket i början. Vilket vi kan få om $a=-b$ eftersom då kommer uttrycket bli
$\displaystyle \frac{ax-a)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{a(x-1)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{a}{(x+1)^2}$

Alternativt kan man bara göra den partiella bråkuppdelningen på uttrycket:
$\displaystyle\frac{ax+b}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{a+b}{4(x-1)}- \frac{a+b}{4(x+1)}+\frac{a-b}{2(x+1)^2}$
Eftersom vi vill att funktionen ska ha en rationell primitiv funktion vill vi att de första två termerna ska försvinna, alltså måste $a+b=0$ eller $a=-b$

AlexMu skrev:
En rationell funktion är en funktion som enbart består av polynom dividerat med varandra. Inga trigonometriska, exponentiella, logaritmiska eller rotuttryck tillåtna! Problemet är ju att integralen innehåller $x-1$ , vilket har antiderivatan $\ln{(x-1)}$ , vilket inte är tillåtet.
När vi gör partiell bråkuppdelning på $\displaystyle\frac{ax+b}{(x-1)(x+1)^2}$ kommer vi få en term med formen: $\displaystyle \frac{A}{x-1}$ för något tal $A$ . Denna funktion kommer ha en primitiv funktion som innehåller logaritmer, vilket vi inte får ha. Därför måste $x-1$ försvinna från uttrycket i början. Vilket vi kan få om $a=-b$ eftersom då kommer uttrycket bli
$\displaystyle \frac{ax-a)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{a(x-1)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{a}{(x+1)^2}$

Alternativt kan man bara göra den partiella bråkuppdelningen på uttrycket:
$\displaystyle\frac{ax+b}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{a+b}{4(x-1)}- \frac{a+b}{4(x+1)}+\frac{a-b}{2(x+1)^2}$
Eftersom vi vill att funktionen ska ha en rationell primitiv funktion vill vi att de första två termerna ska försvinna, alltså måste $a+b=0$ eller $a=-b$

Tack! Hur dras slutsatsen att det kommer bildas en ln term? Det räcker med att den står i bråket för att primitiven ska bli på formen ln?

Svara