20 svar

170 visningar

Berty von Fjerty behöver inte mer hjälp

Värdemängden av en funktion g(x, y)

En lite undran:

Betrakta funktionen $g (x, y) = \frac{x y}{x^{2} + 2 y^{2}}$

Bestäm värdemängden.

Mitt lösningsförslag:

Derivera map x & y:

$D_{1} g (x, y) = \frac{y (2 y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 2 y^{2})}^{2}}$

$D_{2} g (x, y) = \frac{x (x^{2} - 2 y^{2})}{{(x^{2} + 2 y^{2})}^{2}}$

Kritiska punkter hittar vi då båda partiella derivator är lika med noll. Vilket betyder:

$x^{2} = 2 y^{2}$

$x = \pm \sqrt{2} y$

Jag substituerar x i g(x, y) och får att:

$m i n g (x, y) = - \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

$m a x g (x, y) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

$V_{g} = [- \frac{1}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{2 \sqrt{2}}]$

Det känns som att nåt skaver. Typ att det faktiskt bara är lokala extremvärden eller fel öht. Å andra sidan kan man visa att eftersom:

$|x y| \leq x^{2} + 2 y^{2} \Rightarrow |\frac{x y}{x^{2} + 2 y^{2}}| \leq 1$

Vilket typ hade dugt för uppgiften jag egentligen ska göra, men det vore bra att begränsa intervallet ytterligare om det går. Kanske rentav få ett exakt svar :)

Tacksam för hjälp

Vad tror du om att använda polära koordinater?

Det är säkert jättebra :) jag är lite osäker på hur jag skulle göra det bara.

r(cos (v) sin (v)) / (r^2 cos^2(v) + 2r^2 sin^2 (v))

Ditt ursprungliga svar är korrekt. Varför tror du att det är fel?

Smutsmunnen skrev:
Ditt ursprungliga svar är korrekt. Varför tror du att det är fel?

Dels för att jag inte har sett exakt den här metoden någon annanstans, utan jag tänkte att det, på en intuitiv nivå, kanske stämmer och dels att, om du t.ex betraktar envariabelfunktionen f(x) = x^3 + ax^2 + b, så vet vi att den har maximalt två lokala extremvärden, men det betyder inte att värdemängden är begränsad till det intervallet. Värdemängden till f är plus/minus oändligheten. Hur vet jag att värdena i exemplet är globala?

Vi kan säga så här:

Jag är ganska säker på att mitt svar är korrekt. Jag vet däremot inte varför det är det, eftersom jag inte (vad jag vet) har gjort det uppenbart att extremvärdena är globala.

Titta på Dr. G:s tips igen.

PATENTERAMERA skrev:
Titta på Dr. G:s tips igen.

Jag får samma svar där, men jag lyckas bara lösa det grafiskt.

Vad händer om r går mot oändligheten i ditt polära uttryck?

Micimacko skrev:
Vad händer om r går mot oändligheten i ditt polära uttryck?

r^2(sinxcosx)/r^2(cos^2(x) + 2sin^2(x)) får jag uttrycket till. Är det rätt? Ingenting händer då.

Nä det var inte så trevligt som jag trodde. Jag tittade bara på ditt första försök att skriva polärt men det saknades ett r där som hade gjort det enklare.

Micimacko skrev:
Nä det var inte så trevligt som jag trodde. Jag tittade bara på ditt första försök att skriva polärt men det saknades ett r där som hade gjort det enklare.

ja precis jag skrev fel där.

Vet inte om det blir enklare, men man kan skriva om uttrycket och hitta max/min i:

sin(2x) / 2(1+ sin^2(x))

jag lyckas inte lösa det utan får kika i grafen.

Har du testat derivera och sätta till 0? Det intressanta man kan se här är att värdet bara beror på vinkeln, oavsett hur långt bort man går. Man borde kunna motivera att det räcker att hitta min och max på en cirkel så ska det gälla överallt.

Du kan förkorta bort r². Så du får en funktion av en variabel, som dessutom är periodisk med period $π$ .

Så du behöver bara bestämma max och min på tex intervallet - $\frac{π}{2}$ till $\frac{π}{2}$ . Du vet att det finns två lokala extrempunkter i intervallet. Vad händer vid ändpunkterna?

Micimacko skrev:
Har du testat derivera och sätta till 0? Det intressanta man kan se här är att värdet bara beror på vinkeln, oavsett hur långt bort man går. Man borde kunna motivera att det räcker att hitta min och max på en cirkel så ska det gälla överallt.

Ja det har jag, men det är en svår ekvation. Fast nu löste jag det tror jag.

$g' (v) = \frac{\cos^{2} (v) - \sin^{2} (v) - \sin^{4} (v) - \sin^{2} (v) \cos^{2} (v)}{(1 + \sin^{2} {(v))}^{2}} = 0$

Förenkla i täljaren och lös ekv. täljare = 0. Vi får då att:

$\cos^{2} (v) = \sin^{4} (v) + \sin^{2} (v) + \sin^{2} (v) \cos^{2} (v) \cos^{2} (v) = \sin^{2} (v) (\sin^{2} (v) + 1 + \cos^{2} (v)) = \sin^{2} (v) (2) 1 = 2 \tan^{2} (v) \tan^{2} (v) = \frac{1}{2} \tan (v) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} v = \tan^{- 1} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}})$

Jag har använt dubbla vinkeln och så på några ställen så det kan vara svårt att hänga med i resonemanget då alla steg inte är med.

Kolla i tex wolfram om det stämmer.

Micimacko skrev:
Kolla i tex wolfram om det stämmer.

Wolfram ger samma svar

Då är det antagligen rätt 🙂 Blev det du undrade över klarare?

Micimacko skrev:
Då är det antagligen rätt 🙂 Blev det du undrade över klarare?

Jag fick en knuff i rätt riktning som gjorde att jag löste problemet. Om det är så man brukar göra för att veta om en kritisk punkt är global så fick jag svar på frågan. Annars är jag fortfarande lite undrande över hur man kan säkerställa att det är ett globalt min/max.

Tack för all hjälp! :)

Man brukar byta till polärt, och nu blev det ett specialfall men väldigt ofta brukar det gå mot 0 när r går mot oändligheten i den typen av uppgifter.

Svara

Visa senaste svar