Värdemängd - ta reda på

$$\begin{gathered} 0,{83}^x när x\ge 1 ger 0,{83}^x \le 0,83 \\ 0,{83}^x när 0<x<1 ger 0,{83}^x>0,83 \end{gathered}$$

Så vilka värden kan nämnaren anta?

beerger skrev:

$$\begin{gathered} 0,{83}^x när x\ge 1 ger 0,{83}^x \le 0,83 \\ 0,{83}^x när 0<x<1 ger 0,{83}^x>0,83 \end{gathered}$$

Så vilka värden kan nämnaren anta?

Hur vet du att x kan vara mindre än 1? 

Står i uppgiften att x > 0

beerger skrev:

Står i uppgiften att x > 0

Det betyder väll bara att x är större än 0? 

Då kan det väl vara mindre än 1 också?

beerger skrev:

Då kan det väl vara mindre än 1 också?

Ja, så vi antar då att 0<x<1 då kan vi anta att x=0,5,

då blir nämnaren ca 12,93

Det stämmer!

Så vi vet att $x > 0$

$$\begin{gathered} 0<x<1 så kommer 0,{83}^x vara i intervallet 0,83<0,{83}^x<1 \\ När x\ge 1 så kommer 0,{83}^x vara i intervallet 0<x\le 0,83 \\ Alltså ligger 0,{83}^x i intervallet 0 <0,{83}^x<1 \\ då x > 0 \end{gathered}$$

I vilket intervall ligger då hela uttrycket?

svaret till divisionen blir ca 18,56. Vad kan jag göra med svaret?

Du kan inte göra något med det svaret. x kan lika väl vara 0,25? Eller 0,0001? Eller 0,00000000000000000000000000000000001 osv.

Du har rätt. Men eftersom värdemängden gäller för värden y kan anta, hur får man reda på y?

Nu vet du vilka värden $0,{83}^x$kan anta, hur kan du då beräkna vilka värden y kan anta?

Prova stoppa in de olika gränserna i funktionen.

beerger skrev:

Nu vet du vilka värden $0,{83}^x$kan anta, hur kan du då beräkna vilka värden y kan anta?

Prova stoppa in de olika gränserna i funktionen.

Är det smart att ta två olika stora gränser dvs en som är mycket större t.ex 0,99 och en mycket mindre t.ex 0,001? 

$$\begin{gathered} 0<0,{83}^x<1 \Rightarrow \frac{240}{2+12·1}<\frac{240}{2+12·0,{83}^x}<\frac{240}{2+12·0}\iff \\ \frac{240}{14}<\frac{240}{2+12·0,{83}^x}<120 \end{gathered}$$

Så värdemängden blir $\frac{240}{14}<y<120$

beerger skrev:

$$\begin{gathered} 0<0,{83}^x<1 \Rightarrow \frac{240}{2+12·1}<\frac{240}{2+12·0,{83}^x}<\frac{240}{2+12·0}\iff \\ \frac{240}{14}<\frac{240}{2+12·0,{83}^x}<120 \end{gathered}$$

Så värdemängden blir $\frac{240}{14}<y<120$

Hur fick du fram 0 i den tredje divisionens nämnare? 

Eftersom att 0,83^x låg mellan 0 och 1.

2+12*0 = 2

Testa att tänk så här. Om du är med på resonemanget kan du gå tillbaka och se vad beerger har gjort i respektive steg.
Vi har:

$\frac{240}{2+12\times 0,{83}^x} (x>0)$

Om x är nästan 0, alltså nära sin nedre gräns, närmar sig $0,{83}^x$ talet 1 (eftersom vad som helt upphöjt i 0 är 1).
Då närmar sig nämnaren 2+12*1=14 (nerifrån) och y närmar sig 240/14 (uppifrån)

Om x är jättestort närmar sig $0,{83}^x$ talet 0 (eftersom ett tal mellan 0 och 1 upphöjt i något blir mindre ju större exponenten är).
Då närmar sig nämnaren 2+12*0=2 (uppifrån) och y närmar sig 240/2=120 (nerifrån)

(Om "uppifrån" och "nerifrån" känns förvirrande, strunta i dem. Det var inte det viktigaste.)

Alltså är $\frac{240}{14}<y<120$

Förstår vad du menar med uppifrån och nedifrån!  Förstår uppgiften och lösningen nu, tack så mycket för din super tydliga förklaring som fick mig förstå samt beergers uträkningar som gjorde det extra tydligt för mig!! Tack!