Värdemängd

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med att få fram värdemängden till följande uppgifter:

Bestäm värdemängd till

a) $f : ℝ \Rightarrow ℝ, f (x) = x^{3}$

b) $f : ℤ \to ℤ, f (x) = |x|$

c) $f : ℝ \to ℂ, f (x) = e^{i x}$

d) $f : ℝ \to ℝ, f (x) = \sin x + \cos x$

Om man börjar med a uppgiften så blir svaret $ℝ$ eftersom $x^{3}$ kan ha alla reella tal, medans i b uppgiften måste ju talet vara positivt eftersom det är absolutbelopp och vi får då svaret $ℕ$ samtliga naturliga tal, så långt är jag med.

Uppgifterna c och d blir lite krångligare. Svaret för c ska bli $(z \in ℂ | |z| = 1)$ och d ska bli $(x \subset ℝ | |x| \leq \sqrt{2})$ $(x \subset ℝ | |x| \leq \sqrt{2})$

c)Det är nu lämpligt att repetera vad du vet om komplexa tal. En punkt $z=x+iy$ i det komplexa talplanet kan skrivas på något som kallas polär form. Punkten med de kartesiska koordinaterna $x,y$ tillskrivs de polära koordinaterna $r,\theta$ där r är absolutbeloppet, $|z|$ , dvs avståndet från origo till punkten; $\theta$ är vinkeln till den positiva x-axeln. Man skriver $z=re^{i\theta}$

Du kan också skriva ut $z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ vilket för ditt uttryck ger $e^{ix}=cos(x)+i \sin(x)$ . Om du inte genast ser att $|z|=r=1$ kan du alltså beräkna absolutbeloppet av detta.

d) Här kan det vara bra att studera uttrycket $a\sin(x)+b\cos(x)$ . Mer om detta finns att läsa här: a sin(x) + b cos(x)

okej så om man använder formeln $a \sin x + b \cos x = (\sqrt{a^{2} + b^{2}}) \sin (x + v)$ och vi kan då sätta a=1 och b=1 eftersom vi bara har en sinus och en cosinusfunktion så får vi alltså $(\sqrt{1^{2} + 1^{2}}) = (\sqrt{2})$

men vi har ju inget värde för sin( x och v)

Hej!

Uppgift c.

Här gäller det att svara på frågan: Vilka komplexa tal kan skrivas på formen $e^{ix}$ (där $x$ är ett reellt tal)?

Svaret är: Alla komplexa tal som ligger på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

Det betyder att avbildningens värdemängd är lika med enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

$f(\mathbf{R}) = \{z \in \mathbf{C} : |z| = 1\}.$

Uppgift d.

Här gäller det att svara på frågan: Vilka reella tal kan uttryckas $\sin x + \cos x$ (där $x$ är ett reellt tal)?

Med hjälp av en additionssats för sinus-funktionen så kan uttrycket skrivas

$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\ ,$

och eftersom sinus-funktionen antar alla reella värden mellan $(-1)$ och $1$ så kommer uttrycket att anta värden i intervallet $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}].$

Svaret är: Alla reella tal som ligger i intervallet $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}].$

Det betyder att avbildningens värdemängd är lika med intervallet $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}].$

Albiki

Svara

Visa senaste svar