Värdemängd

Du får skissa den grovt i ett koordinatsystem. Ett sätt är att tänka på vad som händer nära 0 och för väldigt stora x. Sedan likadant när du kommer långt från x-axeln. Man kan titta på termerna var för sig. Du har $f\left(x\right)=2x-\frac{1}{x}$.

Om x är positivt, vad händer med 2x när x går mot 0? Jo det går mot 0. Vad händer med $\frac{1}{x}$? Jo det går mot oändligheten. Summan av 0 och oändligheten går mot oändligheten. Då vet du att funktionen blir oändligt stor när den närmar sig 0 från höger.

Sedan gör du samma resonemang för x när det går mot positiv oändlighet, mot negativ oändlighet och mot 0 från vänster.

Skissa funktionen. Var kan det finnas lokala max- och minvärden? Bestäm dem med derivata.

Funkar detta

Nästan, men du ha gjort en underlig spegelvändning för negativa x. Så kan ingen funktion se ut!

Om x är negativt och går mot 0 går ju 1/x mot minus oändlighet. Kolla på det igen och rätta felet.

Man kan resonera så här:

Vi anar genast en vertikal asymptot i x = 0
Först sätter vi in ett litet positivt tal (nära 0) t.ex. 0,001 eller 0, 0001. Ju mindre ju bättre, men mer jobb.
Sedan sätter vi in -0,001 eller mindre och ser på svaren.
Då ser vi att kurvan går mot minus oändligheten när vi är på plussidan och mot plus oändligheten när vi närmar oss noll från minussidan.

Nästa test är att sätta in stora positiva tal och sedan stora negativa tal.
Då anar vi ytterligare en asymptot och den går att få fram med de två räknereglerna för sned asymptot.

Nu är frågan den om vi behöver den sneda asyptoten?
Frågan gäller värdemängden och om jag inte tar alldeles miste så ser vi ingen begränsning av y-värden?

Definitionsmängden däremot har begränsningen att x måste vara skilt från noll.

Vet inte om jag gjort rätt, hur kan jag fortsätta

Det ser rätt ut, men är frågan att du ska bestämma värdemängden?

Du kan väl också rita upp det du vet nu och fundera lite på värdemängd och definitionsmängd.

Jag har ritar nu men jag förstår inte hur värdemängden ska bestämmas. 

håller med duffie här det går väl inte att bestämma någon värde mängd, då den alltid kommer röra sig mot oändligheten? 

Om vi säger så här istället. Finns det något y-värde som inte ingår?

Har ni tagit fram de två asymptoterna och har ni ritat in kurvan?

yes asymptoterna är väl x=0 och 2x-1/x stora värden dominerar 2x så 2x är den andra asymptoter, det finns väl trots detta inget y-värde som inte ingår? 

Det stämmer.

Värdemängden består alltså av alla reella tal.

är det matematiskt rätt att säga -oändligheten<y<oändligheten? vet inte hur man gör tecknet, eller

-oändligheten≤y≤oändligheten

Svar ja. Bra jobbat!

vänta är båda matematiskt korrekta? 

Hmm bra fråga. Vi får se om vi får en kommentar på det. 

Nu har jag kikat lite på det och man kan väl säga att i mina läroböcker undviker man att skriva så. Utan precis som Yngve skriver så nöjer man sig med att konstatera att "Värdemängden består av alla reella tal"

När man undersöker gränsen så skriver man $f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }2x-\frac{1}{x}=\infty$samma sak för $x\to -\infty$men då går vi mot $-\infty$.