Värdemängd

Ja om funktionen $f$ har en invers $f^{-1}$ (alla funktioner har inte det) så är värdemängden till $f$ identisk med definitionsmängden till $f^{-1}$.

Har du läst om derivata? I så fall är det en hjälp att hitta värdemängder.

Tack för det snabba svaret! Vilka funktioner har inte inverser? Och ja, jag har läst på om derivata. Hur skulle jag kunna tillämpa det här? 

Du kan lösa det algebraiskt, med det kan bli bökigt. Ofta är det bättre att rita funktionens graf.

Du kan se värdemängden som mängden av alla konstanter a (i funktionens målmängd) för vilka det finns åtminstone ett x i definitionsmängden som uppfyller ekvationen

f(x) = a.

Så sätt upp ekvationen f(x) = a. Lös ekvationen och notera för vilka värden på a som ekvationen har lösningar x i funktionens värdemängd.

Exempel. Du har en funktion f(x) = x², där definitionsmängden är hela reella axeln.

Vi har då ekvationen x² = a.

Om a = 0 så har vi lösningen x = 0.

Om a > 0 så har vi lösningarna x = $\pm$$\sqrt{a}$.

Om a < 0 så har ekvationen inga reella lösningar.

Således är värdemängden [0, $\infty$), eftersom ekvationen ovan har lösningar i definitionsmängden om och endast om a ligger i intervallet $[0,\infty )$.

Som sagt, lite bökigt, men i detta fall helt görbart.

Tacksam för svar! Intressant sätt att lösa det på, aldrig sett en algebraisk lösning på värdemängdsfrågor. Ska jag alltid sätta att f(x)=a? Och vet du hur man gör med Yngves metod som har med derivata att göra? 

Exempelvis $f(x)=x^2$ har endast en invers på en begränsad del av sin definitionsmängd. Detta eftersom $y=x^2$ innebär att $x=\pm\sqrt{y}$ och vi hamnar då i situationen att ett specifikt värde på $y$ ger två olika värden på $x$. Alltså kan inte $x$ vara en funktion av $y$.

Om vi begtänsar definitionsmängden till $f$ att vara $x\geq0$ så är $f$ plötsligt inverterbar, eftersom det då gäller att $x=\sqrt{y}$, utan $\pm$.

För att bestämna en funktions värdemängd är det bra att känna till funktionens min- och maxpunkter. Det är här derivatan kommer in.

För att ta reda på funktionens minsta och största värde räcker det att undersöka funktionsvärdena vid eventuella min- och maxpunkter samt vid definitionsmängdens gränser.

Om funktionen sedan dessutom är kontinuerlig över hela sin definitionsmängd så antar funktionen alla värden mellan (och inklusive) sitt minsta och största värde.

Och då har du fastställt värdemängden.

Ok, det låter rimligt, då största/minsta värdet ligger i intervallets ändpunkter eller derivatans nollställen antar jag? Det vill säga att vi då får reda på vilka möjliga y-värden som är möjliga. Om jag till exempel ska finna värdemängden till funktionen nedan, blir det väldigt konstigt med inventeringen jag får $x=xy-2y+1$ för $f\left(x\right)=(x-1)/(x-2)$    grafiskt är det tydligt, när x--> stora positiva x går y mot 1, det samma gäller för när x--> stora negativa värden. Finns det ett scenario då värdet är olika för x--> positiva x-värden och x--> stora negativa värden? 

Ännu en gång, jag är extremt tacksam för hjälpen! 

Ambi_Pluggaren skrev:

Ok, det låter rimligt, då största/minsta värdet ligger i intervallets ändpunkter eller derivatans nollställen antar jag? Det vill säga att vi då får reda på vilka möjliga y-värden som är möjliga.

Ja det stämmer.

Om jag till exempel ska finna värdemängden till funktionen nedan, blir det väldigt konstigt med inventeringen jag får $x=xy-2y+1$ för $f\left(x\right)=(x-1)/(x-2)$   

Den funktionen har en invers. Fortsätt att lösa ut x så får du se.

Nu vet jag inte om jag har gjort rätt, då vi inte ens håller på med inversa funktioner. Men, jag kom fram till $$\begin{gathered} 1-y=(-2y+1)/x \\ x=(-2y+1)/(1-y) \end{gathered}$$

Korrekt? Jag får då fram att $y\ne 1$.

Ambi_Pluggaren skrev:

...

Finns det ett scenario då värdet är olika för x--> positiva x-värden och x--> stora negativa värden? 

Ja, ta till exempel $f(x)=\frac{x}{|x|-1}$

Jag har läst matte 3b, där håller vi tyvärr inte på med absolutbelopp (som jag antar att det handlar om)......

Ambi_Pluggaren skrev:

Nu vet jag inte om jag har gjort rätt, då vi inte ens håller på med inversa funktioner. Men, jag kom fram till $$\begin{gathered} 1-y=(-2y+1)/x \\ x=(-2y+1)/(1-y) \end{gathered}$$

Korrekt? Jag får då fram att $y\ne 1$.

Bra! Det stämmer!

Jämför gärna definitions- respektive värdemängd för funktionen $f$ med motsvarande för funktionens invers $f^{-1}$

(Sambandet kan även skrivas $x=\frac{2y-1}{y-1}$.)

Tack! Jag jag ser att definitionsmängden är $x\ne 2$och värdemängden är $y\ne -1$, är det något specifikt jag letar efter när jag jämför dessa?

Definitionsmängden för $f$ är alla tal utom 2, det stämmer, men värdemängden stämmer inte, den ska vara alla tal utom 1.

Jämför dessa två mängder med definitions- och värdemängd för $f^{-1}$.

Ojjjj, jag skrev fel menade $y\ne 1$, skrev lite för fort heheh. Ja men definitionsmängden för $f^{-1}$ blir ju värdemängden för $f$, och vice versa?

Ambi_Pluggaren skrev:

... Ja men definitionsmängden för $f^{-1}$ blir ju värdemängden för $f$, och vice versa?

Ta inte mitt ord för det, kolla om det verkligen är så.

En annan bra grej du kan göra är att plotta grafen till $f$ och grafen till $f^{-1}$ i samma koordinatsystem och se om du hittar några symmetrier.

Välj då någon enkel funktion som t.ex. $f(x)=e^x$ eller $f(x)=\sqrt{x}$.

För f(x)=e^x har vi x=lny, och ln y $>0$ ? Det är då värdemängden. Definitionsmängden är alla värden på x. När jag plottar detta, ser jag att det blir symmetriskt/en sorts spegling på x-axeln. Har jag gjort rätt? 

Ja det är en spegling, men inte i x-axeln utan i linjen y = x.

Pröva gärna även med $f(x)=\sqrt{x}$, vars invers ju är $f(x)=x^2$ (för $x\geq0$).

Jag prövade precis, och jag förstår nu. Allt blev mycket tydligare. Tack bästa Yngve!