19 svar
276 visningar
Ambi_Pluggaren behöver inte mer hjälp
Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 16:47

Värdemängd

Här kommer ännu en fråga.....Finns det något enklare sätt att hitta värdemängden för en funktion? Jag förstår definitionsmängd till 100%, men värdemängden klickar inte lika mycket i huvudet. Jag förstår att det är alla tillåtna y-värden, men kan man lösa det algebraiskt? Jag har läst lite om inversa funktioner, kan jag tillämpa det här?

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 16:55

Ja om funktionen ff har en invers f-1f^{-1} (alla funktioner har inte det) så är värdemängden till ff identisk med definitionsmängden till f-1f^{-1}.

Har du läst om derivata? I så fall är det en hjälp att hitta värdemängder.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 16:57

Tack för det snabba svaret! Vilka funktioner har inte inverser? Och ja, jag har läst på om derivata. Hur skulle jag kunna tillämpa det här? 

PATENTERAMERA 6064
Postad: 6 jan 2021 17:16

Du kan lösa det algebraiskt, med det kan bli bökigt. Ofta är det bättre att rita funktionens graf.

Du kan se värdemängden som mängden av alla konstanter a (i funktionens målmängd) för vilka det finns åtminstone ett x i definitionsmängden som uppfyller ekvationen

f(x) = a.

Så sätt upp ekvationen f(x) = a. Lös ekvationen och notera för vilka värden på a som ekvationen har lösningar x i funktionens värdemängd.

Exempel. Du har en funktion f(x) = x2, där definitionsmängden är hela reella axeln.

Vi har då ekvationen x2 = a.

Om a = 0 så har vi lösningen x = 0.

Om a > 0 så har vi lösningarna x = ±a.

Om a < 0 så har ekvationen inga reella lösningar.

Således är värdemängden [0, ), eftersom ekvationen ovan har lösningar i definitionsmängden om och endast om a ligger i intervallet [0,).

Som sagt, lite bökigt, men i detta fall helt görbart.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 17:23

Tacksam för svar! Intressant sätt att lösa det på, aldrig sett en algebraisk lösning på värdemängdsfrågor. Ska jag alltid sätta att f(x)=a? Och vet du hur man gör med Yngves metod som har med derivata att göra? 

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 17:48 Redigerad: 6 jan 2021 18:22

Exempelvis f(x)=x2f(x)=x^2 har endast en invers på en begränsad del av sin definitionsmängd. Detta eftersom y=x2y=x^2 innebär att x=±yx=\pm\sqrt{y} och vi hamnar då i situationen att ett specifikt värde på yy ger två olika värden på xx. Alltså kan inte xx vara en funktion av yy.

Om vi begtänsar definitionsmängden till ff att vara x0x\geq0 så är ff plötsligt inverterbar, eftersom det då gäller att x=yx=\sqrt{y}, utan ±\pm.

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 18:31 Redigerad: 6 jan 2021 18:39

För att bestämna en funktions värdemängd är det bra att känna till funktionens min- och maxpunkter. Det är här derivatan kommer in.

För att ta reda på funktionens minsta och största värde räcker det att undersöka funktionsvärdena vid eventuella min- och maxpunkter samt vid definitionsmängdens gränser.

Om funktionen sedan dessutom är kontinuerlig över hela sin definitionsmängd så antar funktionen alla värden mellan (och inklusive) sitt minsta och största värde.

Och då har du fastställt värdemängden.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 18:43

Ok, det låter rimligt, då största/minsta värdet ligger i intervallets ändpunkter eller derivatans nollställen antar jag? Det vill säga att vi då får reda på vilka möjliga y-värden som är möjliga. Om jag till exempel ska finna värdemängden till funktionen nedan, blir det väldigt konstigt med inventeringen jag får x=xy-2y+1 för f(x)=(x-1)/(x-2)    grafiskt är det tydligt, när x--> stora positiva x går y mot 1, det samma gäller för när x--> stora negativa värden. Finns det ett scenario då värdet är olika för x--> positiva x-värden och x--> stora negativa värden? 

Ännu en gång, jag är extremt tacksam för hjälpen! 

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 20:15
Ambi_Pluggaren skrev:

Ok, det låter rimligt, då största/minsta värdet ligger i intervallets ändpunkter eller derivatans nollställen antar jag? Det vill säga att vi då får reda på vilka möjliga y-värden som är möjliga.

Ja det stämmer.

Om jag till exempel ska finna värdemängden till funktionen nedan, blir det väldigt konstigt med inventeringen jag får x=xy-2y+1 för f(x)=(x-1)/(x-2)   

Den funktionen har en invers. Fortsätt att lösa ut x så får du se.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 20:30

Nu vet jag inte om jag har gjort rätt, då vi inte ens håller på med inversa funktioner. Men, jag kom fram till 1-y=(-2y+1)/x  x=(-2y+1)/(1-y)

Korrekt? Jag får då fram att y1.

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 20:32
Ambi_Pluggaren skrev:

...

Finns det ett scenario då värdet är olika för x--> positiva x-värden och x--> stora negativa värden? 

Ja, ta till exempel f(x)=x|x|-1f(x)=\frac{x}{|x|-1}

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 20:36

Jag har läst matte 3b, där håller vi tyvärr inte på med absolutbelopp (som jag antar att det handlar om)......

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 20:43
Ambi_Pluggaren skrev:

Nu vet jag inte om jag har gjort rätt, då vi inte ens håller på med inversa funktioner. Men, jag kom fram till 1-y=(-2y+1)/x  x=(-2y+1)/(1-y)

Korrekt? Jag får då fram att y1.

Bra! Det stämmer!

Jämför gärna definitions- respektive värdemängd för funktionen ff med motsvarande för funktionens invers f-1f^{-1}

(Sambandet kan även skrivas x=2y-1y-1x=\frac{2y-1}{y-1}.)

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 20:45

Tack! Jag jag ser att definitionsmängden är x2 och värdemängden är y-1, är det något specifikt jag letar efter när jag jämför dessa?

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 20:53

Definitionsmängden för ff är alla tal utom 2, det stämmer, men värdemängden stämmer inte, den ska vara alla tal utom 1.

Jämför dessa två mängder med definitions- och värdemängd för f-1f^{-1}.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 20:57

Ojjjj, jag skrev fel menade y1, skrev lite för fort heheh. Ja men definitionsmängden för f-1 blir ju värdemängden för f, och vice versa?

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 21:13
Ambi_Pluggaren skrev:

... Ja men definitionsmängden för f-1 blir ju värdemängden för f, och vice versa?

Ta inte mitt ord för det, kolla om det verkligen är så.

En annan bra grej du kan göra är att plotta grafen till ff och grafen till f-1f^{-1} i samma koordinatsystem och se om du hittar några symmetrier.

Välj då någon enkel funktion som t.ex. f(x)=exf(x)=e^x eller f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 21:27

För f(x)=e^x har vi x=lny, och ln y >0 ? Det är då värdemängden. Definitionsmängden är alla värden på x. När jag plottar detta, ser jag att det blir symmetriskt/en sorts spegling på x-axeln. Har jag gjort rätt? 

Yngve 40561 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 22:12

Ja det är en spegling, men inte i x-axeln utan i linjen y = x.

Pröva gärna även med f(x)=xf(x)=\sqrt{x}, vars invers ju är f(x)=x2f(x)=x^2 (för x0x\geq0).

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 7 jan 2021 11:00

Jag prövade precis, och jag förstår nu. Allt blev mycket tydligare. Tack bästa Yngve!

Svara
Close