Värde
Bestäm största och minsta värdet i intervallet 1<_x<_3 för funktionen f(x)=x^2-x+1
jag har svårt att börja med denna. Jag började med att derivera men blir derivatan f’(x)=2x-1 eller endast 2x?
Den blir 2x – 1
Tack, jag sätter den f’(x)=0 och får x= 0,5. Hur går jag vidare, gör jag en tabell med 0 och 1 som jag sätter in i f(x) eller f’(x)?
Sätt upp en tabell med 0.5 ( utanför intervallet) , 1 och 3 och sen som rader
f’(x)
f(x)
för f’ skall du utvärdera positivt, negativt eller 0
för f, växande, avtagande, min, max eller platå.
du kanske inte behöver ta med derivatans nollställe i tabellen men inte fel.
Ska jag endast göra 0,5, 1 och 3? Inte något tal före 0,5? Och sätter jag in de i den deriverade eller ursprungliga funktionen?
Du behöver inte ens derivera, om du ser att grafen till funktionen
är en parabel med spetsen nedåt.
Rita kurvan
Det är nog lugnast att derivera, som du har gjort.
Då ser vi att kurvans lägsta punkt är den där x = 0,5 .
För x > 0,5 är den strängt växande (fortsätter uppåt hela tiden),
eftersom derivatan här är positiv.
Då ser man lösningen
Egentligen behöver du ingen teckentabell. Största och minsta värde antas alltid i någon av
1. Ändpunkterna
2. Punkterna där derivatan är noll
3. punkterna där funktionen ej deriverbar.
Så du har redan kandidaterna. 1 och 3. (0,5 var ju utanför intervallet.)
Sätt in kandidaterna i f och se vilken som är störst och vilken som är minst.
Alltså:
f(1)= 1^2-1+1= 1
f(3)= 3^2-3+1= 7
det största värdet är 7 och det minsta värdet är 1
Eller tänkte jag fel nu? Är det för enkelt?
Så enkelt är det, men det var ändå nödvändigt att ta fram funktionens lokala minimum (dvs x = 1/2) för att konstatera att det är en otillåten punkt.
Jo, så är det.
Ser man att det är en parabel med spetsen nedåt,
räcker det att visa att f'(1) > 0 för att kunna säga
att hela intervallet [1, 3] ligger på den växande delen av grafen.
Då är saken klar.
