Var kan z^2 ligga

Marx skrev:

Hej!

I figuren är åtta olika områden i det komplexa talplanet markerade med A, B, C, D, E, F, G och H. Cirkeln är en enhetscirkel med centrum i origo. Cirkeln och koordinataxlarna ingår inte i något av de markerade områdena.

Bestäm i vilket eller vilka områden talet $z^2$kan ligga om z ligger i B.

Jag har fått fram ett svar men vill veta först hur ni löser uppgiften, alltså är inte helt säker om svaret är rätt eller fel. Tack på förhand!

Jag skulle använda de Moivres formel, fast grafiskt.

Mitt svar skulle då vara A eller B, beroende på hur stort argument z har.

Stämmer det med ditt svar?

Det som är intressant är din motivering.

Yngve skrev:

Marx skrev:

Hej!

I figuren är åtta olika områden i det komplexa talplanet markerade med A, B, C, D, E, F, G och H. Cirkeln är en enhetscirkel med centrum i origo. Cirkeln och koordinataxlarna ingår inte i något av de markerade områdena.

Bestäm i vilket eller vilka områden talet $z^2$kan ligga om z ligger i B.

Jag har fått fram ett svar men vill veta först hur ni löser uppgiften, alltså är inte helt säker om svaret är rätt eller fel. Tack på förhand!

Jag skulle använda de Moivres formel, fast grafiskt.

Mitt svar skulle då vara A eller B, beroende på hur stort argument z har.

Stämmer det med ditt svar?

Det som är intressant är din motivering.

Jag blir helt fascinerad när jag upplever hur fantastiskt det är att få veta hur andra tänker kring samma fråga. Jag har också fått samma svar men på ett annat sätt. Så här har jag gjort:

$$\begin{gathered} z kan skrivas om som z=a+ bi och eftersom z ligger i B så har vi: \\ \left|z\right|>1 och a>0 samt b>0, \\ {z}^2=(a^2-b^2) + \left(2ab\right)i \\ Absolutbeloppet för z^2 : \\ \left|z^2\right|={\left|z\right|}^2=\left|z\right|\left|z\right|>1 eftersom \left|z\right|>1 \\ Nu vet vi att talet ligger u\tan för cirke\ln . \\ Vi vet ju att uttrycket 2ab>0 , men för uttrycket a^2-b^2 uppstår två fall: \\ Om a>b då a^2-b^2>0 \to z^2 ligger i B \\ Om b>a då a^2-b^2<0 \to z^2 ligger i A \end{gathered}$$

Visst går det att visa på rektangulär form, men det blir mer kompakt på polär.

För z i A gäller r > 1, 0 < v < π/2

För z^2 gäller då r > 1^2, 0 < v < 2*π/2

Dr. G skrev:

Visst går det att visa på rektangulär form, men det blir mer kompakt på polär.

För z i A gäller r > 1, 0 < v < π/2

För z^2 gäller då r > 1^2, 0 < v < 2*π/2

Ju det stämmer.

Hej!

• Det komplexa talets modul $|z|$ sträcks ut om $z$ ligger utanför enhetscirkeln och trycks ihop om $z$ ligger inuti enhetscirkeln; ligger $z$ på enhetscirkeln förändras inte modulen.
• Det komplexa talets argument $arg(z)$ fördubblas av transformationen $f(z) = z^2$.

Om $z$ ligger i området $B$ så kommer modulen $|z^2|$ att vara större än 1 och argumentet $arg(z^2)$ kommer att ligga i det öppna intervallet $(0,\pi)$. Det innebär att $f$ avbildar området $B$ på unionen $A \cup B$.