Var bor Bosse?

Hej!

Jag har suttit och klurat på denna uppgift i en stund nu och har kommit fram till ett svar. Mitt svar verkar rimligt utifrån informationen som anges i uppgiften men de är ingen "elegant lösning" och jag är inte säker på ifall de är rätt då jag ej har facit.

Uppgiften Lyder:

Kalle och svenne bor i Grönköping. OM man lägger ett koordinatsystem över kartan bor kalle i punkten (-2,1) och svenne i (2,2). Nu drar vi en linje L1 mellan deras hur. En annan linje L2 är vinkelrät mot L1 och skär L1 exakt mitt mellan deras hus. Bosse bor på linjen L2, 5 l.e från linjernas skärningspunkt. Var bor Bosse?

Min lösningen gick ut på att ta reda på mittpunkten på linjen L1 som jag fick fram till (0 ; 1,5) med hjälp av mittpunktsformeln. Sedan kunde jag bestämma linjerna L1 och L2 som funktioner då jag använde (delta y)/(delta x) och fick fram riktningskoefficient på linje L1 till (1/4)x. Funktionen för L1 blev därför y=0,25x +1,5 och sen bestämde jag L2 genom att veta att K1 * K2= -1 och fick därför L2 till y=-4x+1,5. Därifrån använde jag mig av en avståndsformeln och fick ut en katet för att sen avgöra hypotenusan i figuren som har skapats av linjerna. Detta matade jag sedan in i min funktion y=-4x +1,5 och fick fram koordinaterna ( $\frac{3 - \sqrt{165}}{8}$ ; $\frac{\sqrt{165}}{2}$ ). Detta såg rimligt ut i geogebra men jag undrar ifall det finns en mer "elegant lösning" eller om mitt svar är rätt överhuvudtaget.

Om du ritar figur får du 'facit.'

Jag är med på dina linjer L₁ och L₂ men kan inte följa resten.

Hur menar du med rita figur? Jag försökte rita figuren men jag kunde inte få fram något utav det.

Min lösning var fel, jag gjorde ett fel under processen och de är ingen ide att rätta till det.

Jag gjorde ungefär som du fram till och med L2, som jag fick samma funktion som din, dvs y=-4x+1,5

Men med mina beräkningar blir sedan koordinaterna (-1,5; 7,5)

Henning skrev:
Jag gjorde ungefär som du fram till och med L2, som jag fick samma funktion som din, dvs y=-4x+1,5

Men med mina beräkningar blir sedan koordinaterna (-1,5; 7,5)

Jag måste har gjort något helt fel i min beräkning, kan du visa hur du kom fram till svaret?

Philip0550 skrev:
Henning skrev:
Jag gjorde ungefär som du fram till och med L2, som jag fick samma funktion som din, dvs y=-4x+1,5

Men med mina beräkningar blir sedan koordinaterna (-1,5; 7,5)

Jag måste har gjort något helt fel i min beräkning, kan du visa hur du kom fram till svaret?

Om du visar hur du har gjort dina beräknaingar kan vi hjälpa dig att hitta var det har blivit konstigt.

https://www.desmos.com/calculator/wj32djmoum

Euclid skrev:
https://www.desmos.com/calculator/wj32djmoum

Tack, nu förstår jag!

Philip0550 skrev:
Henning skrev:
Jag gjorde ungefär som du fram till och med L2, som jag fick samma funktion som din, dvs y=-4x+1,5

Men med mina beräkningar blir sedan koordinaterna (-1,5; 7,5)

Jag måste har gjort något helt fel i min beräkning, kan du visa hur du kom fram till svaret?

Jag kan visa början på vägen mot slutsvaret

Jag sätter koordinaterna i den sökta punkten till (a,b+1,5)

Vi vet att avståndet från skärningspunkten (som ligger på y-axeln) mellan L1 och L2 till Bosses hem är =5

Vi får en rätvinklig triangel mellan L2, y-axeln och en linje från Bosse-hemmet vinkelrätt mot y-axeln, där hypotenusan är 5, och kateterna är b resp a.

Pythagoras sats ger: $a^{2} + b^{2} = 5^{2} . . (1)$

Bosses hem ligger på linjen L2 vilket ger: $b = - 4 a + 1, 5 . . (2)$

Om man sätter in ekv (2) i ekv (1) får man en 2-gradsekvation med den enda giltiga roten a=-1,5 vilket ger b=7,5

Vilket slutligen ger koordinaterna (-1,5;9) (jag missade själv förskjutningen i y-led med 1,5 i mitt tidigare svar

Philip0550 skrev:
Euclid skrev:
https://www.desmos.com/calculator/wj32djmoum

Tack, nu förstår jag!

Här är hela lösningen för dom som undrar:

https://www.desmos.com/calculator/u86to5wwru

Henning, din katet 7,5 är längre än hypotenusan 5.

Vi vet att b/a = 4 (om vi bara tittar på längderna) så vi kan få en lite enklare ekvation.

a² + (4a)² = 25

a = $\pm$ 5/ $\sqrt{17}$

Javisst - i min ekvation (2) missade jag att sätta in rätt värde på y i L2-s ekvation

Där skulle det ha stått: $b + 1, 5 = - 4 a + 1, 5$

Vilket ju ger $b = - 4 a$

Så slutligen får man koordinaterna för Bosses ena hem till (-1,21;6,35)

Henning skrev:
Javisst - i min ekvation (2) missade jag att sätta in rätt värde på y i L2-s ekvation

Där skulle det ha stått: $b + 1, 5 = - 4 a + 1, 5$

Vilket ju ger $b = - 4 a$

Så slutligen får man koordinaterna för Bosses ena hem till (-1,21;6,35)

Rör inte till det. Se https://www.desmos.com/calculator/u86to5wwru istället.

Svara

Visa senaste svar