Var är slarvet (3)?

Hur ser området ut om du skär en skiva vinkelrätt mot x-axeln?

Utgå ifrån smaragdlenas tips!

Mitt tips är sedan att att se det som differensen mellan två rotationsvolymer: en yttre minus en inre.

Det ser ut som en knäckebröd med en stor hål i mitten tror jag.

Jag förstår inte hur jag ska gå vidare med tipset!

Hur stor är arean av varje knäckebrödsskiva, som en funktion av x?

$\mathrm{\pi }(2\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{x}}{)}^2?$ Inte?

Daja skrev :

$\mathrm{\pi }(2\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{x}}{)}^2?$ Inte?

Det stämmer inte. Testa gärna med ett konkret exempel, förslagsvis: $x=4$ för att försäkra dig om att det blir fel. Vad borde det vara istället för $x=4$?

I nästa steg kan du generalisera till en formel för alla $x$.

smaragdalena skrev :

Hur stor är arean av varje knäckebrödsskiva, som en funktion av x?

Sådana runda Dala-knäckebröd :-)
http://pyramidbrod.se/bageriet/
$\pi y^{2}dx$

Daja skrev :

$\mathrm{\pi }(2\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{x}}{)}^2?$ Inte?

$2\sqrt{x}-\sqrt{x}$ är avståndet mellan kurvorna vid koordinaten x.

Det i sig är inte tillräcklig information för att avgöra hur stor ytan är som bildas då en skiva roterar kring x-axeln. Du behöver få med avståndet från x-axeln på något sätt.

Det inser du lätt själv genom följande exempel: Vilken skiva har störst yta? Den röda eller den blåa? Avståndet mellan yttre och inre radien är densamma i båda fallen.

Om du istället följer rådet från tomast80 så kommer du att få rätt svar.

@Affe: precis! Jag gillar Vika, dom smakar riktigt surdeg!

@Yngve och Tomast80: $\mathrm{\pi }(2\sqrt{4}-\sqrt{4}{)}^2=\mathrm{\pi }(2{)}^2$. Vad skulle det bli istället för 4 vet jag inte! Förlåt jag förstår inte så bra vidare!

Det kan vara så att den blå knäckering har större yta, men man vet aldrig med roterande volymer, dom är så sneaky. Jag är inte säkert om hur jag borde skriva om uttrycket för att ta hänsyn till y axeln. Affe skrev ${\mathrm{\pi y}}^2$ men upphöja i kvadrat har jag redan gjort?

Ni menar att båda integraler måste separeras som en stor boll och en kärna för att ta hänsyn till avståndet till x-axeln? Med 4 blir det isf: $\mathrm{\pi }\left[{\left(2\sqrt{4} \right)}^2- {\left(\sqrt{4}\right)}^2\right]=\mathrm{\pi }\left[{\left(4\right)}^2- {\left(2\right)}^2\right]=\mathrm{\pi }\left[16- 4\right]=12\mathrm{\pi }$, istället för $4\mathrm{\pi }$?

Har du glömt hur man integrerar? Vad är t.ex:

$\pi {\int }_0^{6}xdx$

Jag kan inte utläsa om du har förstått hur volymselementet ska se ut. Beskriver därför det här.

Knäckebrödsskivan:

Skivans radie är 2*x^(0,5), så dess area (utan hål) är pi*(2*x^(0,5))^2 = pi*4x.

Hålet i mitten har radien x^(0,5), så hålets area är pi*(x^(0,5))^2 = pi*x.

Alltså har skivan med hål arean pi*4x - pi*x = 3pi*x.

Med tjocklek dx så har skivan volymen 3pi*x*dx, vilket även är volymselementet.

--------------------

Felet du gjorde var alltså att du tog (r2 - r1)^2 istället för r2^2 - r1^2.

Affe Jkpg skrev :

Har du glömt hur man integrerar? Vad är t.ex:

$\pi {\int }_0^{6}xdx$

Nej nej, vi utreder vad jag gör som fel på integrering :). Det bli väl $\mathrm{\pi }{\left[\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right]}_0^6=\mathrm{\pi }\left[\frac{36}{2}-\mathrm{o}\right]= \mathrm{\pi }18$

Yngve skrev :

Jag kan inte utläsa om du har förstått hur volymselementet ska se ut. Beskriver därför det här.

Knäckebrödsskivan:

Skivans radie är 2*x^(0,5), så dess area (utan hål) är pi*(2*x^(0,5))^2 = pi*4x.

Hålet i mitten har radien x^(0,5), så hålets area är pi*(x^(0,5))^2 = pi*x.

Alltså har skivan med hål arean pi*4x - pi*x = 3pi*x.

Med tjocklek dx så har skivan volymen 3pi*x*dx, vilket även är volymselementet.

--------------------

Felet du gjorde var alltså att du tog (r2 - r1)^2 istället för r2^2 - r1^2.

Nämen jag tror jag är mer eller mindre med. Jag upprepar bara med hopplöst hopp att jag kommer att komma ihåg.

Jag har subtraherat radier istället för areor, därför hittade jag $\sqrt{x}$. Med ${\left(2\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2$, blir det:

${\int }_0^{6}3\mathrm{\pi x} \mathrm{dx} = 3\mathrm{\pi }{\left[\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right]}_0^6=3\mathrm{\pi }\left[\frac{36}{2}-0\right]=3\mathrm{\pi }\times 18=54\mathrm{v}.\mathrm{e}$

Daja skrev :

Med ${\left(2\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2$, blir det:

${\int }_0^{6}3\mathrm{\pi x} \mathrm{dx} = 3\mathrm{\pi }{\left[\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right]}_0^6=3\mathrm{\pi }\left[\frac{36}{2}-0\right]=3\mathrm{\pi }\times 18=54\mathrm{v}.\mathrm{e}$

Ja om frågan gällde rotationskroppens volym så stämmer det.

Yngve skrev :

Daja skrev :

Med ${\left(2\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2$, blir det:

${\int }_0^{6}3\mathrm{\pi x} \mathrm{dx} = 3\mathrm{\pi }{\left[\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right]}_0^6=3\mathrm{\pi }\left[\frac{36}{2}-0\right]=3\mathrm{\pi }\times 18=54\mathrm{v}.\mathrm{e}$

Ja om frågan gällde rotationskroppens volym så stämmer det.

Jo, det var frågan. Jag gjorde en snabbt sammanfattning av vad ni sa för att komma ihåg det. 

Daja skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Daja skrev :

Med ${\left(2\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2$, blir det:

${\int }_0^{6}3\mathrm{\pi x} \mathrm{dx} = 3\mathrm{\pi }{\left[\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right]}_0^6=3\mathrm{\pi }\left[\frac{36}{2}-0\right]=3\mathrm{\pi }\times 18=54\mathrm{v}.\mathrm{e}$

Ja om frågan gällde rotationskroppens volym så stämmer det.

Jo, det var frågan. Jag gjorde en snabbt sammanfattning av vad ni sa för att komma ihåg det. 

Observera att det blir $54 \pi$ v.e. Du tappade bort $\pi$.

tomast80 skrev :

Observera att det blir $54 \pi$ v.e. Du tappade bort $\pi$.

Hoppsanojdå. Ja det stämmer såklart.

NÄeeeej min slarv igen!!!