Var är slarvet? (2)

Du har att

$\sin (x + \phi )\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sin \left(x\right)\cos \left(\phi \right)+\sin \left(\phi \right)\cos \left(x\right)$

Nu vill du alltså bestämma vinkeln $\varphi$ sådan att

$$\begin{gathered} \cos \left(\phi \right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{-2}{\sqrt{13}}, \\ \sin \left(\phi \right)=\frac{3}{\sqrt{13}} \end{gathered}$$

Notera då at vi ligger i andra kvadraten, så vinkeln bör vara mellan 90 och 180. Därför får man nu att då

$arc\tan \left(\frac{3}{-2}\right)\approx -56.3°$

Så kommer vi behöva lägga på 180 grader på detta för att hamna i rätt kvadrant. Därför blir vinkeln

$\phi \approx 123.69°$

Nu går det: https://www.desmos.com/calculator/hunqwt7pp0

Jag försökte att följa matteböken, där vinkel är mellan 0 och 90 grader. Hur skulle jag skriva om jag ville ha en vinkeln i den här intervall? Det kanske går inte?

Man får böka lite med det där för att det ska gå att använda

$$\begin{gathered} -2\sin \left(x\right)\hspace{0.17em}+ 3\cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-\left(2\sin \right(x) - 3\cos (x\left)\right) =\hspace{0.17em}-\sqrt{13}\sin (x-56.3°) \\ =\sqrt{13}\sin (56.3°-x) =\hspace{0.17em}\sqrt{13}\sin (180°-(56.3°-x\left)\right) =\hspace{0.17em}\sqrt{13}\sin (x + 123.7°) \end{gathered}$$

Det borde funka med variant två.

För att det ska stämma med villkoren på konstanterna a och b (båda ska vara större än 0) så sätt ett minus framför:

$-(a\sin x - b\cos x ) = -a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin (-(x-v))$

Du kan sedan utnyttja att: $\sin y = \sin (180^{\circ} - y)$

Lite trixande, men till slut går det att få ihop det.

Stokastisk skrev :

Man får böka lite med det där för att det ska gå att använda

$$\begin{gathered} -2\sin \left(x\right)\hspace{0.17em}+ 3\cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-\left(2\sin \right(x) - 3\cos (x\left)\right) =\hspace{0.17em}-\sqrt{13}\sin (x-56.3°) \\ =\sqrt{13}\sin (56.3°-x) =\hspace{0.17em}\sqrt{13}\sin (180°-(56.3°-x\left)\right) =\hspace{0.17em}\sqrt{13}\sin (x + 123.7°) \end{gathered}$$

Snyggt! Great minds think alike! :)

Man försöker respektera matteböken och följa dennes råd, och det får man som tack... Den ger metoder som går inte att använda! Pff...

Tack till båda!

Daja skrev :

Man försöker respektera matteböken och följa dennes råd, och det får man som tack... Den ger metoder som går inte att använda! Pff...

Tack till båda!

Kul att hjälpa till! Visserligen gick det inte att använda formeln rakt av, men samtidigt var det en bra uppgift där man fick öva på att använda två viktiga egenskaper hos sinusfunktionen:

Det är en udda funktion, d.v.s. $\sin (-x) = -\sin x$ samt att $\sin x = \sin (180^{\circ}-x)$.

Jo, det var faktiskt jätte bra. Dessutom gillar jag alla härledning uppgifter så jag repeterar det imorgon :)

Ojojojojoj vilket aha moment!

Igår fick jag något konstigt. Nämligen att jag hade rätt form på kurva, men inverterad. Så det gick att få rätt kurva igenom att sätta minus tecken framför amplituden. (men då tänkte jag bara vafan händer där?)

När jag gjorde om övningen förstådd jag varför. Vi exporterar minus tecken inifrån parentesen. -v blir då +v och +x blir -x. Och med minus tecken framför amplituden swingar den åt motsats håll! Jag visste inte att det hette udda funktion :)

Tackar Les Grands Esprits (Great minds think alike sägs Les grands esprits se rencontrent hos oss :)