Var är felet

Felet är att bilden inte är roterad.

Utöver det har du inte gjort själva gränstagningen, dvs undersökt vad som händer med (värdet på) uttrycket när h blir väldigt litet.

SeriousCephalopod skrev :

Felet är att bilden inte är roterad.

Utöver det har du inte gjort själva gränstagningen, dvs undersökt vad som händer med (värdet på) uttrycket när h blir väldigt litet.

Men får fel svar

Tamara skrev :

SeriousCephalopod skrev :

Felet är att bilden inte är roterad.

Utöver det har du inte gjort själva gränstagningen, dvs undersökt vad som händer med (värdet på) uttrycket när h blir väldigt litet.

Men får fel svar

Aha nu får jag rätt tack så mycket

Hej!

Med hjälp av definitionen av derivata vill du visa att funktionen

    $f(x) = \frac{1}{x^2}$ (där $x\neq 0$)

har derivatan

    $f'(x) = -\frac{2}{x^3}.$

Du vill se hur mycket funktionsvärdet $f(x)$ ändras då talet $x$ ändras litet grand, från $x$ till talet $(x+h).$Funktionsvärdet ändras såhär mycket:

    $\displaystyle f(x+h) - f(x) = \frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2}.$

Med Konjugatregeln kan täljaren skrivas på faktoriserad form. 

    $\displaystyle f(x+h)-f(x) = \frac{(x-x-h)(x+x+h)}{x^2(x+h)^2} = -\frac{h(2x+h)}{x^2(x+h)^2}.$

Bryt ut talet $2x$ från täljaren och talet $x^4$ från nämnaren. 

    $\displaystyle f(x+h)-f(x) = -\frac{2x}{x^4} \cdot \frac{h(1+\frac{h}{2x})}{(1+\frac{h}{x})^2}.$

Förändringshastigheten får du genom att dividera förändringen $f(x+h)-f(x)$ med talet $h$. 

    $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = -\frac{2}{x^3} \cdot \frac{1+\frac{h}{2x}}{(1+\frac{h}{x})^2}.$

Funktionens derivata $f'(x)$ är lika med förändringshastighetens gränsvärde när ökningen $h$ närmar sig talet noll. 

    $\displaystyle f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = -\frac{2}{x^3} \cdot \lim_{h\to 0} \frac{1+\frac{h}{2x}}{(1+\frac{h}{x})^2} = -\frac{2}{x^3} \cdot 1.$

Albiki