Väntevärden

God kväll,

Idag har jag en fråga om väntevärden där jag inte är helt säker på vad som ska användas.

Frågan lyder:

Vid ett parkeringshus betalas dels en fast avgift om 10kr vid varje parkeringstillfälle och dessutom en rörlig avgift om 5kr/tim proportionell mot parkeringstidens längd. Den tid en kund har sin bil parkerad är en s.v. X med täthetsfunktionen $e^{- x}, x > 0$ . Låt Y vara den avgift kunden betalar. Beräkna E(Y).

Kunden betalar ju 10kr + 5*timmar men jag kommer inte riktigt på hur man ska göra här.

Det gäller att:

$Y = 10+5X$

Enligt räknereglerna för väntevärden fås då:

$E(Y) = E(10+5X) =$

$10 + 5 E (X) = . . .$

Räknar jag E(X) genom $\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$ sedan? För då får jag 1 och det blir rätt svar.

Hej!

En kund som parkerar bilen under $X$ timmar betalar parkeringsavgiften $10 + 5 \cdot X$ kronor. Denna slumpvariabel har fördelningsfunktionen

$\displaystyle F(y) = Prob(10+5X \leq y) = Prob(X \leq \frac{y-10}{5})= \int_{x=0}^{\frac{y-10}{5}}e^{-x}\,dx=1-e^{-\frac{y-10}{5}}.$

Den motsvarande täthetsfunktionen är lika med derivatan av fördelningsfunktionen.

$\displaystyle f(y) = F'(y) = \frac{1}{5}e^{-\frac{y-10}{5}}\.$

Med hjälp av täthetsfunktionen beräknar man parkeringsavgiftens väntevärde.

$\displaystyle\mathbb{E}\{Y\} = \int_{y=10}^{\infty} y \cdot f(y)\,dy = \int_{y=10}^{\infty} \frac{1}{5}ye^{-\frac{y-10}{5}}\,dy = [(y+5)e^{-\frac{y-10}{5}}]_{\infty}^{10}=15.$

Svara

Visa senaste svar