Väntevärde och standardavvikelse

Att genomsnittet är större än 1,05  är väl samma sak som att summan är större än  50 · 1,05  ?

Arktos skrev:

Att genomsnittet är större än 1,05  är väl samma sak som att summan är större än  50 · 1,05  ?

Hur räknar man ut summan här och vad står $50 \cdot 1.05$ för?

Det är P(summan > 50·1,05)  du ska beräkna.
Inte exakt, men normalapproximation går väl bra här också

Låt $Y_{50} = X_1+X_2+...+X_{50}$
stå för summan av de 50 variablerna.

Medelvärdet kan därför beräknas enligt följande:
${\overline{X}}_{50} = \raisebox{1ex}{$Y_{50}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$50$}\right.$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow P\left(1.05 < {\overline{X}}_{50}\right) \\ = P\left(1.05 < \raisebox{1ex}{$Y_{50}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$50$}\right.\right) \\ = P\left(50·1.05 < Y_{50}\right) \\ = P\left(50·1.05 - 50·\mu < Y_{50} - 50·\mu \right) \\ = P\left(\frac{50·1.05 - 50·\mu }{\sigma ·\sqrt{50}} < \frac{Y_{50} - 50·\mu }{\sigma ·\sqrt{50}}\right) \end{gathered}$$

Nu kan du använda centrala gränsvärdessatsen.

Det borde stå att man får använda centrala gränsvärdessatsen. Den fungerar inte för alla fördelningar.

Centrala gränsvärdessatsen fungerar för alla fördelningar med ändlig varians.
Eftersom standardavvikelsen angetts i frågan har denna fördelningen det.

Så är det tydligen. Men summan av två Poisson-fördelade variabler är Poisson-fördelad, hur går det ihop?

jarenfoa skrev:

Låt $Y_{50} = X_1+X_2+...+X_{50}$
stå för summan av de 50 variablerna.

Medelvärdet kan därför beräknas enligt följande:
${\overline{X}}_{50} = \raisebox{1ex}{$Y_{50}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$50$}\right.$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow P\left(1.05 < {\overline{X}}_{50}\right) \\ = P\left(1.05 < \raisebox{1ex}{$Y_{50}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$50$}\right.\right) \\ = P\left(50·1.05 < Y_{50}\right) \\ = P\left(50·1.05 - 50·\mu < Y_{50} - 50·\mu \right) \\ = P\left(\frac{50·1.05 - 50·\mu }{\sigma ·\sqrt{50}} < \frac{Y_{50} - 50·\mu }{\sigma ·\sqrt{50}}\right) \end{gathered}$$

Nu kan du använda centrala gränsvärdessatsen.

Om jag förstod det rätt så är $P\left(\frac{50·1.05 - 50·\mu }{\sigma ·\sqrt{50}} < \frac{Y_{50} - 50·\mu }{\sigma ·\sqrt{50}}\right)$= $1-\Phi(52.5)$?

känns dock fel!

Ja det är fel.

$a \ne 50·1.05$

Laguna skrev:

Så är det tydligen. Men summan av två Poisson-fördelade variabler är Poisson-fördelad, hur går det ihop?

Summan av två Poisson-fördelade variabler är Poisson-fördelad,
men med en större faktor $\lambda$ (som i en Poisson-fördelning står för både väntevärde och varians)
Allt eftersom fler variabler läggs samman fortsätter $\lambda$ för summans fördelning att öka.

Men om du tittar på en bild av sannolikhetsfunktion för en Poisson-fördelning med riktigt hög $\lambda$
så kommer du se att den alltmer ser ut som täthetsfunktion för en Normal-fördelning.
Centrala gränsvärdessatsen slår till igen.

jarenfoa skrev:

Ja det är fel.

$a \ne 50·1.05$

Nä, kommer inte vidare. Kan bara tillämpa GVS på typen av $P(a<\overline{x}_n\leq>$ $\\$ $P(c< \sum="" x_i\leq="">$

Om du skulle tillämpa den på $P\left(c<\sum _{}^{}{X}_i<d\right)$, vad skulle du få då?

Men ska jag utgå från att $c=0$? Det var mest det som ställde till det - att det inte var ett intervall.

Du sa att du bara kunde tillämpa GVS på t.ex. typen $P\left(c<\sum _{}^{}{X}_i<d\right)$
Jag gissar att det betyder att dina läromedel täcker detta.
Jag skulle vilja veta vad de anger för allmän lösning för denna typ.

Om jag får veta det kan jag sen hjälpa dig förstå
hur du skall applicera den allmänna lösningen på just detta problem.

jarenfoa skrev:

Du sa att du bara kunde tillämpa GVS på t.ex. typen $P\left(c<\sum _{}^{}{X}_i<d\right)$
Jag gissar att det betyder att dina läromedel täcker detta.
Jag skulle vilja veta vad de anger för allmän lösning för denna typ.

Om jag får veta det kan jag sen hjälpa dig förstå
hur du skall applicera den allmänna lösningen på just detta problem.

$P(c<\sum_i X_i \leq d) \approx \Phi(\frac{d- n\mu}{\sigma \sqrt{n}})- \Phi(\frac{c-n\mu}{\sigma \sqrt{n}})$

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna ($c$ & $d$) innan du stoppar in dem i $\Phi$.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns $c = 50·1.05$,
kan vi sätta den över gränsen, $d = \infty$.

jarenfoa skrev:

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna ($c$ & $d$) innan du stoppar in dem i $\Phi$.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns $c = 50·1.05$,
kan vi sätta den över gränsen, $d = \infty$.

OK! Jag är nog med nu, men har du lust och berätta varför du lägger till de gulmarkerade termer i olikheten? 

Tillägg: 11 aug 2023 17:31

Och för övrigt så kommer jag fram till: 

$\Phi(\infty)-\Phi(\frac{52.5-50\cdot 1}{0.2 \cdot \sqrt{50}})=\Phi(\infty)- \Phi(1.76)$

Men termen $\Phi(\infty)$ har väl inget värde alls?

 Φ(∞) = 1

Soderstrom skrev:

jarenfoa skrev:

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna ($c$ & $d$) innan du stoppar in dem i $\Phi$.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns $c = 50·1.05$,
kan vi sätta den över gränsen, $d = \infty$.

OK! Jag är nog med nu, men har du lust och berätta varför du lägger till de gulmarkerade termer i olikheten? 

---

Tillägg: 11 aug 2023 17:31

Och för övrigt så kommer jag fram till: 

$\Phi(\infty)-\Phi(\frac{52.5-50\cdot 1}{0.2 \cdot \sqrt{50}})=\Phi(\infty)- \Phi(1.76)$

Men termen $\Phi(\infty)$ har väl inget värde alls?

Bump

Första termen i hägra ledet är lika med 1   (se #19)

Arktos skrev:

Första termen i hägra ledet är lika med 1   (se #19)

Kolla hela #18 😅

Soderstrom skrev:

jarenfoa skrev:

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna ($c$ & $d$) innan du stoppar in dem i $\Phi$.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns $c = 50·1.05$,
kan vi sätta den över gränsen, $d = \infty$.

OK! Jag är nog med nu, men har du lust och berätta varför du lägger till de gulmarkerade termer i olikheten? 

Låt oss börja med ditt uttryck och justera det lite:
$$\begin{gathered} P\left(c <\sum _i^n{X}_i < d\right) \\ =P\left(c-n\mu < \sum _i^n{X}_i-n\mu < d-n\mu \right) \\ =P\left(\frac{c-n\mu }{\sigma \sqrt{n}} < \frac{\sum _i^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}} < \frac{d-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right) \end{gathered}$$

Detta är vanlig enkel ekvationsmanipulering.
Genom att göra samma sak på båda sidor om olikhetstecknen
förblir sannolikheten P oförändrad.

Fördelen med detta är att centrala gränsvärdessatsen säger att
just det uttrycket som står i mitten av den sista olikheten
närmar sig en standardiserad normalfördelning när n blir stort.
Med andra ord: $\frac{\sum _i^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}} ~ N\left(0,1\right)$     approximativt

Det är därför vi nu kan uttrycka P med hjälp av $\Phi$-funktionen:
$$\begin{gathered} \Rightarrow P\left(\frac{c-n\mu }{\sigma \sqrt{n}} < \frac{\sum _i^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}} < \frac{d-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right) \\ \approx \Phi \left(\frac{d-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right) - \Phi \left(\frac{c-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right) \end{gathered}$$

Eftersom jag inte visste vilka formler du redan hade i dina läromedel
valde jag att försöka använda den formel som finns på wikipediasidan jag länkade till.
De gulmarkerade termerna visar hur man manipulerar olikheten
för att få fram det önskvärda uttrycket i mitten.
Det man har runtom är då automatiskt det man skall sätta in i $\Phi$-funktionen.