Väntevärde och kvantfysik

Hej, jag har följande uppgift som jag har svårt att lösa

a) och c) förstår jag hur man löser (applicera definitionen av väntevärde på tillstånden), b) har jag därimot lite svårare att lösa. Funktionen ser ut på det här viset: ${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi }{a}^3}}{e}^{-ra}$, jag skulle kunna göra som i c) och bara använda definitionen av väntevärde $\int x\left|{\psi }_{100}\right|r^2\sin \theta dr d\theta d\varphi =\int r\sin \theta \cos \varphi \left|{\psi }_{100}\right|r^2\sin \theta dr d\theta d\varphi$ men lösningsförslaget gör inte på detta viset, utan dom resonerar som så att man ska dela $<r^2>$ på 3 eftersom $r^2=x^2+y^2+z^2$ och det är sfäriskt symmetriskt. För det första förstår jag argumentet halvt men inte riktigt helt och hållet, det känns matematiskt osäkert, kan man verkligen bara göra så? jag ser att det är sfäriskt symmetriskt men jag känner mig inte tillräckligt säker i statistiken för att kunna göra något sånt. Jag förstår inte riktigt logiken från att man vet att det är sfäriskt symmetriskt till att man kan dela väntevärdet $<r^2>$ på 3. Om någon kunde förklara argumentet i detalj skulle det uppskattas!

Tack i förhand!