Väntevärde av antal slumpade tal

Hej, har denna fråga:

Jag resonerar som följande:

Om man betraktar X som ett "pilkast på tallinjen" mellan 0 och 1 blir ju uppenbart P(N=2) = 1/2. Vidare blir P(N=3) = P(N=2) * 1/4, där 1/4 kommer från att det är en fjärdedels sannolikhet att X3 är större än E[X2|X2>x1] = 3/4. Osv...

Det ger följande:

P(N=2) = 1/2

P(N=3) = P(N=2) * 1/4

P(N=4) = P(N=3) * 1/8

osv...

Mer formellt ger detta att sannolikhetsfunktionen för N blir:

$p_N\left(n\right)=\frac{1}{2^{{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}}} , för n \ge 2.$

Vilket ger att väntevärdet för N blir:

$E\left[N\right]\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sum _{k=2}^{\infty }k\frac{1}{2^{{\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}}}\hspace{0.17em}\approx 1,4425$

Facit ger dock detta svar:

Jag försåt och håller med facits svar. Men var i min lösning har det gått snett?