Vänster och höger gränsvärden

Uppgiften säger att beräkna höger och vänstergränsvärdet alltså för $\lim_{a \to 2^{+}} f (x)$ och $\lim_{a \to 2^{-}} f (x)$ .

d) f(x) = $\frac{\sin x}{x (x - 2)}, a = 2$

Det jag har gjort är att sätta x = t + 2. Alltså x -> 2 då t -> 0 d.v.s

$\lim_{t \to 0^{+}} \frac{\sin (t + 2)}{(t + 2) t} = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{\sin (t + 2)}{(t + 2)} \cdot \lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t} = C \cdot \infty$ då $x \to 2^{+}$

Och om vi skulle sätta att $\lim_{t \to 0^{-}} f (x) = C \cdot - \infty = - \infty$ då $x \to 2^{-}$ . Jag är dock osäker kring hur jag ska motivera $\lim_{t \to 0^{\pm}} \frac{\sin (t + 2)}{(t + 2)} = C$ då det inte är ett standard gränsvärde. Jag vet att C blir positivt med enhetscirkeln. Är det okej att göra sådana påståenden eller hur bör jag lösa uppgiften annars?

Kan du ta en bild på uppgiften?

Din fkn g(t)= sin(t+2)/(t+2) är kontinuerlig i en omgivning kring t=0. g(t) är dessutom > 0, ty argumentet (2) ligger i andra kvadranten varför sin(2)>0 och nämnaren är nära +2. Det sista gränsvärdet är alltså hur mycket "standard" som helst. Din lösning i övrigt är svår att kommentera eftersom vi inte har tillgång till den ursprungliga problemtexten. Instämmer därför i Lagunas önskemål.

Här är själva uppgiften. Jag vet ju också att sin x / x = 1 då x -> 0 om man kan motivera kring det?

Vi kan konstatera att sin(2) kommer att finnas mellan 1,57 och 3,14 i andra kvadranten och värdet kommer att ligga på ett positivt värde större än 0,5.

För funktionen ser vi av nämnaren att vi har en lodrät asymptot i x = 2.
Studerar vi nämnaren så ser vi att den har små negativa värden när vi kommer från vänster och små positiva värden från höger. Vilket sedan leder till din slutsats.

Svara

Visa senaste svar