Vända 7 st vinglas?

Finns det något givet antal glas? Finns det någon illustration? Det känns som att något fattas i uppgiften. :)

Smutstvätt skrev:

Finns det något givet antal glas? Finns det någon illustration? Det känns som att något fattas i uppgiften. :)

Det enda som står är: "Sju vinglas står upp och nedvända på ett bord. Kan man vända exakt fyra åt gången så att alla blir rättvända?"

Efter lite klurande kommer jag fram till att för att lyckas vända alla måste det kunna finnas ett jämt antal uppvända, eftersom vid varje given vändning kommer antal glas som vänds ner subtraherat med antalet glas som vänds upp vara 4, 2, 0, -2 eller -4.

Dock går det inte att åstadkomma ett jämt antal uppvända glas (måste visas på något matematiskt sätt, inte säker på hur).

Tillägg: Att det inte går att åstadkomma jämt antal uppvända glas är av samma anledning, dvs nettoantalet som vänds är jämn, och vi börjar med udda antal uppvända glas. 

Återstår bara att visa detta matematiskt :)

Axiom skrev:

Smutstvätt skrev:

Finns det något givet antal glas? Finns det någon illustration? Det känns som att något fattas i uppgiften. :)

Det enda som står är: "Sju vinglas står upp och nedvända på ett bord. Kan man vända exakt fyra åt gången så att alla blir rättvända?"

Okej, då förstår jag. Tack!

Mitt förslag till lösning är följande: Vi räknar antal glas som står "fel" (med botten upp). Från början står alla glas fel, vilket ger sju "poäng". Vi ska vända fyra glas i taget. Vad händer då med vår felpoäng? 

• Om de fyra glasen vänds åt rätt håll, minskar felpoängen med fyra. 
• Om tre av de fyra glasen vänds åt rätt håll, och det fjärde glaset vänds åt fel håll, ger det $-3+1=-2$ felpoäng. 
• Om två av de fyra glasen vänds åt rätt håll, och de andra två glasen vänds åt fel håll, ger det $-2+2=0$ felpoäng. Detta motsvarar att antalet rättvända glas inte påverkas. 
• Om ett av de fyra glasen vänds åt rätt håll, och de andra tre glasen vänds åt fel håll, ger det $-1+3=2$ felpoäng. 
• Om de fyra glasen vänds åt fel håll, ökar felpoängen med fyra. 

Vilka alternativ som är möjliga beror på hur glasen står för tillfället (vid första vändningen går det ju inte att vända något glas åt fel håll, eftersom alla glas redan står åt fel håll), men även om vi skulle kunna välja vilka alternativ som helst, i vilken ordning som helst, vad händer med vår felpoäng? Kan alla glas bli rättvända någon gång? :)

Smutstvätt skrev:

Axiom skrev:

Visa föregående citat

Smutstvätt skrev:

Finns det något givet antal glas? Finns det någon illustration? Det känns som att något fattas i uppgiften. :)

Det enda som står är: "Sju vinglas står upp och nedvända på ett bord. Kan man vända exakt fyra åt gången så att alla blir rättvända?"

Okej, då förstår jag. Tack!

Mitt förslag till lösning är följande: Vi räknar antal glas som står "fel" (med botten upp). Från början står alla glas fel, vilket ger sju "poäng". Vi ska vända fyra glas i taget. Vad händer då med vår felpoäng? 

• Om de fyra glasen vänds åt rätt håll, minskar felpoängen med fyra. 
• Om tre av de fyra glasen vänds åt rätt håll, och det fjärde glaset vänds åt fel håll, ger det $-3+1=-2$ felpoäng. 
• Om två av de fyra glasen vänds åt rätt håll, och de andra två glasen vänds åt fel håll, ger det $-2+2=0$ felpoäng. Detta motsvarar att antalet rättvända glas inte påverkas. 
• Om ett av de fyra glasen vänds åt rätt håll, och de andra tre glasen vänds åt fel håll, ger det $-1+3=2$ felpoäng. 
• Om de fyra glasen vänds åt fel håll, ökar felpoängen med fyra. 

Vilka alternativ som är möjliga beror på hur glasen står för tillfället (vid första vändningen går det ju inte att vända något glas åt fel håll, eftersom alla glas redan står åt fel håll), men även om vi skulle kunna välja vilka alternativ som helst, i vilken ordning som helst, vad händer med vår felpoäng? Kan alla glas bli rättvända någon gång? :)

Nej, vi kan bara ändra felpoängen med +2 eller -2, så det är omöjligt att få alla glas rättvända

Axiom skrev:

Nej, vi kan bara ändra felpoängen med +2 eller -2, så det är omöjligt att få alla glas rättvända

Glöm inte +4 och -4. :) Men din slutsats är helt korrekt.

Jag håller inte med er andra här i tråden. Om man tänker sig följande:

• En vändning går ut på att man vänder 4 rättvända glas om det finns 4 eller fler rättvända
• Om det finns färre än 4 rättvända vänder man alla rättvända och så många felvända som behövs för totalsumman 4

Så får man en situation där antal rättvända glas efter n vändningar är 4*n modulo 7

Efter 7 vändningar har man 4*7=0 mod 7, och alla glas är felvända.

@SvanteR: Spännande! Jag får inte riktigt ihop det dock, utan fastnar i en loop där vi vänder på samma glas. Jag får det till: 

$\begin{array}{ccccccc}\bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup \\ \sqcap & \sqcap & \sqcap & \sqcap & \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup \\ \sqcap & \sqcap & \sqcap & \bigsqcup & \sqcap & \sqcap & \sqcap \\ \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup & \sqcap & \sqcap & \sqcap & \sqcap \\ \sqcap & \sqcap & \sqcap & \bigsqcup & \sqcap & \sqcap & \sqcap \\ \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup & \sqcap & \sqcap & \sqcap & \sqcap \\ \sqcap & \sqcap & \sqcap & \bigsqcup & \sqcap & \sqcap & \sqcap \\ \bigsqcup & \bigsqcup & \bigsqcup & \sqcap & \sqcap & \sqcap & \sqcap \\ \sqcap & \sqcap & \sqcap & \bigsqcup & \sqcap & \sqcap & \sqcap \\ & & & ⋮& & & \end{array}$

Jag ser inte vart det blir fel. :/

Nu inser jag att jag hade fel, men jag förstår fortfarande inte varför jag hade fel. Jag får tänka lite och återkomma!

Okej, då förstår jag varför jag inte fick ihop det. Däremot förstår jag inte heller varför det inte fungerar. 🤔 

Smutstvätt skrev:

Okej, då förstår jag varför jag inte fick ihop det. Däremot förstår jag inte heller varför det inte fungerar. 🤔 

Jag tycker dock din lösning stämmer väldigt bra överens med vad som händer i verkligheten om man testar att vända t.ex. kort.

Har du provat med sju kort?

Axiom skrev:

Smutstvätt skrev:

Okej, då förstår jag varför jag inte fick ihop det. Däremot förstår jag inte heller varför det inte fungerar. 🤔 

Jag tycker dock din lösning stämmer väldigt bra överens med vad som händer i verkligheten om man testar att vända t.ex. kort.

 

Ursäkta, jag syftade på SvanteR:s lösningsförslag. Det ser rätt ut, men det verkar finnas något hål i den, även om jag inte hittar var någonstans. :)

Som Calle_K påpekar kan man inte nå en jämn bana från en udda eller tvärtom.

Dvs om antalet rättvända glas är jämnt (0,2,4,6) kan vi inte nå (1,3,5,7) och vice versa. Orsaken är att vi byter paritet på glasen och den samlade pariteten bevaras.

Beroende på vilken kurs det här problemet kommer från kan man rita upp hur banorna ser ut med siffror i bubblor och vackra pilar som illustrerar vilka övergångar som är tillåtna. Eftersom en bana bara innehåller 4 element är det inte ett oöverstigligt problem.