"Välj tre på varandra följande heltal, multiplicera det största med det minsta... "

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Hur lyder hela frågan?

Hej och välkommen =)

Prova att kalla dina tal x, y och z. Skriv sen dina ekvationer utifrån y (alltså y där du har n+1, y-1 där du har n, etc). Du kanske upptäcker något.

Yngve skrev:

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Hur lyder hela frågan?

Hela frågan är: Välj tre på varandra följande heltal, exempelvis 5, 6 och 7. Multiplicera det största talet med det minsta talet. Beräkna sedan kvadraten av det mellersta talet.

Upprepa motsvarande beräkningar för ytterligare några talföljder med tre på varandra följande heltal. Vilken slutsats kan du dra av dina undersökningar?

Bevisa att din slutsats alltid gäller för tre på varandra följande heltal.

Tack jag har inte kommit så långt som till konjugatregeln. Men jag fann xy = (z^2)-1 om x, y, z är på varandra följande heltal. Det var väl ganska fint...

thedifference skrev:

Hej och välkommen =)

Prova att kalla dina tal x, y och z. Skriv sen dina ekvationer utifrån y (alltså y där du har n+1, y-1 där du har n, etc). Du kanske upptäcker något.

Visa spoiler

Du jobbar med konjugatregeln.

hemulen85 skrev:

Tack jag har inte kommit så långt som till konjugatregeln. Men jag fann xy = (z^2)-1 om x, y, z är på varandra följande heltal. Det var väl ganska fint...

OK, din början är utmärkt.

Din teori är att om talen är n, n+1 och n+2 så gäller det att n*(n+2) = a och att (n+2)*(n+2) = a+1.

Du vill nu visa att så är fallet.

Då kan du bärja med att subtrahera 1 från båda sidor i den andra ekvationen, vilket ger dig de båda ekvationerna

• n*(n+2) = a
• (n+1)(n+1)-1 = a

Utveckla nu vänsterleden i de båda ekvationerna. Hur ser de ut då?

När du löst uppgiften så kan vi prata om lite snyggare sätt att bevisa teorin.

Yngve skrev:

hemulen85 skrev:

Tack jag har inte kommit så långt som till konjugatregeln. Men jag fann xy = (z^2)-1 om x, y, z är på varandra följande heltal. Det var väl ganska fint...

OK, din början är utmärkt.

Din teori är att om talen är n, n+1 och n+2 så gäller det att n*(n+2) = a och att (n+2)*(n+2) = a+1.

Du vill nu visa att så är fallet.

Då kan du bärja med att subtrahera 1 från båda sidor i den andra ekvationen, vilket ger dig de båda ekvationerna

• n*(n+2) = a
• (n+1)(n+1)-1 = a

Utveckla nu vänsterleden i de båda ekvationerna. Hur ser de ut då?

När du löst uppgiften så kan vi prata om lite snyggare sätt att bevisa teorin.

Nu hänger jag inte med. Kan du utveckla dem och förklara resten? Tack på förhand.

Vänsterledet i ekvationen n*(n+2) = a är n*(n+2).

Att utveckla vänsterledet innebär att multiplicera in faktorn n i parentesen.

I ekvationen (n+1)*(n+1)-1 = a vill jag att du multiplicerar ihop parenteserna.

Yngve skrev:

Vänsterledet i ekvationen n*(n+2) = a är n*(n+2).

Att utveckla vänsterledet innebär att multiplicera in faktorn n i parentesen.

I ekvationen (n+1)*(n+1)-1 = a vill jag att du multiplicerar ihop parenteserna.

Jag är inte riktigt säker hur. Menar du att det blir ²(n+1)-1 = a?

Nej.

Vad får du om du multiplicerar in faktorn n i parentesen i uttrycket n*(n+2)?

Yngve skrev:

Vänsterledet i ekvationen n*(n+2) = a är n*(n+2).

Att utveckla vänsterledet innebär att multiplicera in faktorn n i parentesen.

I ekvationen (n+1)*(n+1)-1 = a vill jag att du multiplicerar ihop parenteserna.

Hemulen, tänk på den distributivalagen eller kvaderingsreglerna. Konjugatregeln gäller inte när:

(n+1)(n+1)-1=a

Yngve skrev:

Nej.

Vad får du om du multiplicerar in faktorn n i parentesen i uttrycket n*(n+2)?

n²+2n. Var kommer jag med det?

Bra.

Den ena ekvationen n*(n+2) = a kan alltså skrivas om som n²+2n = a.

Försök nu att skriva om den andra ekvationen (n+1)*(n+1)-1 = a  på liknande sätt.

Jämför sedan de två ekvationerna.

Yngve skrev:

Bra.

Den ena ekvationen n*(n+2) = a kan alltså skrivas om som n²+2n = a.

Försök nu att skriva om den andra ekvationen (n+1)*(n+1)-1 = a  på liknande sätt.

Jämför sedan de två ekvationerna.

²(n+1)-1=a. Hur menar du jämföra ekvationerna? Med avseende på vad?

hemulen85 skrev:

²(n+1)-1=a. Hur menar du jämföra ekvationerna? Med avseende på vad?

Nej, jag menar att du ska multiplicera ihop parenteserna (n+1) och (n+1) i vänsterledet och sedan förenkla.

Så här:

(n+1)*(n+1)-1 = a

Efter att ha multiplicerat ihop parenteserna blir det

n²+2n+1-1 = a

Förenkla nu vänsterledet och jämför med den andra ekvationen.

Yngve skrev:

hemulen85 skrev:

²(n+1)-1=a. Hur menar du jämföra ekvationerna? Med avseende på vad?

Nej, jag menar att du ska multiplicera ihop parenteserna (n+1) och (n+1) i vänsterledet och sedan förenkla.

Så här:

(n+1)*(n+1)-1 = a

Efter att ha multiplicerat ihop parenteserna blir det

n²+2n+1-1 = a

Förenkla nu vänsterledet och jämför med den andra ekvationen.

n²+2n=a. Det är ju samma som den första ekvationen. Hur kommer det sig?

Bra.

Den ena ekvationen säger att a är lika med n²+2n. Om du sätter in det i den andra ekvationen så får du n²+n = n²+n.

Denna ekvation är uppfylld för alla möjliga värden på n.

Det betyder att båda ekvationerna säger exakt samma sak, vilket var vad du ville visa (se svar #6).

Yngve skrev:

Bra.

Den ena ekvationen säger att a är lika med n²+2n. Om du sätter in det i den andra ekvationen så får du n²+n = n²+n.

Denna ekvation är uppfylld för alla möjliga värden på n.

Det betyder att båda ekvationerna säger exakt samma sak, vilket var vad du ville visa (se svar #6).

Hur bevisar man den lite snyggare då?

Jag skulle göra så här:

Kalla de tre talen n-1, n och n+1.

Om vi multiplicerar det största talet med det minsta så får vi (n+1)(n-1) = n²-n+n-1 = n²-1, vilket är lika med kvadraten av det mellersta talet minus 1.

=====

Konjugatregeln lyder (a+b)(a-b) = a²-b² och dyker upp i kursen Matte 2, läs gärna om den här.

I de lösningar som diskuteras här så antar man det som ska bevisas, vilket inte är korrekt sätt. Lösningen löses enkelt med ett induktionsbevis.

oneplusone2 skrev:

I de lösningar som diskuteras här så antar man det som ska bevisas, vilket inte är korrekt sätt. Lösningen löses enkelt med ett induktionsbevis.

Lösningen i svar #19 gör inte detta antagande.

Angående induktionsbevis så är det nog överkurs i det här fallet eftersom hemulen85 inte ännu har nått fram till konjugatregeln.