välj lämpliga intervall vid parametrisering

Som uppgiften föreslår är sfäriska koordinater att föredra här.

Parametriseringen $\mathbf{r}(u,v)$ parametriserar nämligen en sfär med radie $6$, där $u$ representerar vinkeln mellan $z$-axeln och radien och $u$ representerar vinkeln mellan radien och $x$-axeln i $xy$-planet:

Det gäller alltså att kunna hitta intervallen för vinklarna $u$ och $v$ så att de beskriver vår önskade yta. Till en början behöver vi ett hum om hur den ser ut. Vår yta är ju delen av sfären $x^2+y^2+z^2=36$ som ligger inuti cylindern $x^2+y^2\leq25$. Den ser alltså ut ungefär så här:

Vinkeln $v$ löper ju hela varvet runt i $xy$-planet. Den kommer därför att variera mellan $0$ och $2\pi$. För att få fram $u$ kan vi betrakta följande vy av ytan i $xz$-planet:

Med hjälp av den rätvinkliga triangeln jag ritat upp (svart) går det att bestämma den övre gränsen för vinkeln $u$. Ser du hur?

(Din tanke om att $z\geq0$ är inte helt fel ute, men du måste tänka på att ytan inte börjar vid $xy$-planet. $z$ kommer därför att börja på något större än noll)

Fina bilder! Jag förstår det mycket bättre! men jag hänger inte med varför u är vinkeln mellan z o radianen och v är vinkeln mellan radianen och x axeln i xy planet. Jag får att u = arctan( +-5/sqrt(11)). eftersom den röda och blå linjen skär varandra då z = sqrt(11), vilket betyder att u måste gå mellan arctan(-5/sqrt(11)) och arctan(5/sqrt(11)). Har jag tänkt rätt? eller är det mellan 0 och arctan(5/sqrt(11))

Här försökte vi förklara lite hur det här med sfäriska koordinater fungerar:

https://www.pluggakuten.se/trad/sfariska-koordinaterna/?order=all#post-4957d1fe-46ce-489e-87f5-a9db00d721e5

Jag rekommenderar dig att bekanta dig med sfäriska koordinater. De är väldigt användbara i tre dimensioner.

Som jag beskrev i den ovan länkade tråden är vinkeln mellan $z$-axeln och radien ($u$) alltid större än noll (den behöver inte vara mindre än noll, vi får ju ändå med den delen av rummet när vi roterar kring $z$-axeln med vinkeln $v$). De korrekta gränserna är alltså $0\leq u\leq\arctan(5/\sqrt{11})$. Observera att man lika gärna kan använda sinusinversen och få $0\leq u\leq\arcsin(5/6)$ (det gäller ju att $\sin(u)=5/6$), vilket är samma sak.

Okej nu hänger jag med. Visste först inte att Fi och theta redan var bestämda vart dom gick ifrån  som bilden visar här:

Väldigt bra förklarat tack!