Välj kurva så att linjeintegral blir så liten som möjligt

Inte nödvändigtvis, svårt att säga utan att se uppgiften. 

Nähä? 

Jag skapade den själv. Låt f(x,y) ge hur obehagligt väglaget är att gå på på en punkt (x,y). f(x,y)≥0∀(x,y). Jag vill gå från en punkt till en annan, vilken väg ska jag ta för maximal behaglighet?

Alltså:

$\displaystyle \min_{\gamma}\int_0^T f(x(t),y(t))dt$

$\gamma(0)=(x(0),y(0))$

$\gamma(T)=(x(T),y(T))$

Rätt uppfattat?

Kan obehagligheten vara noll? Eller negativ?

tomast80 skrev:

Alltså:

$\displaystyle \min_{\gamma}\int_0^T f(x(t),y(t))dt$

$\gamma(0)=(x(0),y(0))$

$\gamma(T)=(x(T),y(T))$

Rätt uppfattat?

öh... ja tror jag?

Laguna: noll obehaglighet är den bästa möjliga vägen att gå på.

Så är detta variationskalkyl?

Än så länge är det ingenting eftersom du har inte ställt upp ditt problem matematiskt. Det låter lite luddigt som något som eventuellt går att lösa rätt smidigt med t ex Lagrange multipliers eller något annat optimeringsalternativ. 

I variationskalkyl så varierar man en funktional (en funktion av funktioner) och försöker hitta extremum. Rent praktiskt sker detta med Euler-Lagranges ekvationer om man kan bilda en Lagrangian. Denna metod lämpar sig perfekt för att t ex hitta kortaste sträckan i ett krökt rum (EL-ekvationer ger då geodetiska ekvationen). Det kanske går att använda variationskalkyl för att lösa det du pratar om med men det är ingenting jag någonsin tänkt på.

Det borde vara en tillämpning för variationskalkyl.

Om vi har en linjeintegral av typen

${\int }_{\Gamma }\overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{r}$, så borde vi kunna formulera om det till en funktional

S[$\overrightarrow{\gamma }$] = ${\int }_{t1}^{t2}\overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{\gamma }\right)\bullet \frac{d\overrightarrow{\gamma }}{dt}dt$, där $\overrightarrow{\gamma }$ är en parametrisering av kurvan (som är en variabel i problemet), dvs $\overrightarrow{\gamma }:\left[t1,t2\right]\to {\mathrm{ℝ}}^n$.

Således borde man här ha en Lagrangefunktion $L\left(\overrightarrow{\gamma }, \dot{\overrightarrow{\gamma }}\right)$ = $\overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{\gamma }\right)\bullet \dot{\overrightarrow{\gamma }}$.

Sedan brukar man väl ha ytterligare villkor såsom tex att kurvans ändpunkter är givna.

Euler-Lagranges ekvationer ger ett nödvändigt villkor för minimum 

$\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{\gamma }}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{\gamma }}}\right)=0$.

Som, om jag räknar rätt, i vårat fall blir

$\left({\left(\nabla \overrightarrow{F}\right)}^T-\nabla \overrightarrow{F}\right)\left(\overrightarrow{\gamma }\right)\bullet \dot{\overrightarrow{\gamma }}$ = 0, vilket faktiskt ser lite intressant ut. $\nabla \overrightarrow{F}$ $\equiv$ $\sum _k\frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial x_k}\otimes {\overrightarrow{e}}_k$, dvs andra ordningens tensor.

Misstänker att detta i tre dimensioner kan uttryckas med hjälp av $rot\overrightarrow{F}$ på något vis. Kanske $rot\overrightarrow{F}\times \dot{\overrightarrow{\gamma }}$ = 0, eller liknande (någon matematiker som kan bekräfta?). Det verkar ju vettigt eftersom integralen är oberoende av väg om rotationen är noll så att funktionalen är stationär för alla kurvor $\Gamma$.

Så vad är ditt vektorfält F? Bakar du alltså in allt luddigt som "obehagligt väglag" i ett fält?

Låt oss ta ett konkret exempel:

$\displaystyle f(x,y)=(1+sin(x))e^{-x-y^2}$

Vi ska ta oss från $(0,0)$ till $(1,2)$.

Hur minimeras linjeintegralen viktad mot $f(x,y)$ mellan dessa punkter?

Emmynoether: Jag tycker att min fundering är ganska naturlig om man lär sig om linjeintegraler, eller? Är frågan konstig? Man kan specificera funktion och de två punkterna men jag vill bara fråga om det är variationskalkyl. Vad saknas?

PATENTERAMERA: byter du mellan stor och liten gamma? Och funktionen är ju R2->R. Vad är ⃗F för nåt?

Tomast80: tankeläsare!

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Kurvintegral

Stort gamma kurvan. Litet gamma en parametrisering av kurvan.

Qetsiyah skrev:

Vad är ⃗F ($\overrightarrow{F}$ - min rättning) för nåt?

Det är vektorfältet som beskriver hur "obehagligt" det är mellan startpunkt och ändpunkt.

Ebola: men vadå, det är ju ett skalärfält? Obehaglighet har bara en dimension.

Så kan någon visa vad som händer om man stoppar in Tomasts konkretisering i PATENTERAMERAs lösningsförslag? Eller ännu enklare: visa att svaret är en rät linje om obehaglighetsfunktionen är konstant?