Väldigt enkla och grundläggande satser som man (jag) inte visste fanns? (Matematik/Allmänna diskussioner)

Skaffa dig en bok för den första universitetskursen i envariabelanalys. Jag tror du kommer att gilla det!

Det tror jag också, men vad skulle den sådan bok heta?

Förmodligen skulle boken heta något med Grundläggande eller Elementär eller rentav Förberedande i namnet.Jag kommer ihåg hur det var när jag började plugga på Chalmers då hade vi böcker med sådana namn, och på gymnasiet hade de bara hetat Kemi, Fysik och liknande... Jag kände mig en smula knäckt.

"Calculus" av Adams är bra. Den använde jag när jag läste envariabelanalys.

Jordans kurvsats är rätt så enkel i meningen att resultatet verkar uppenbart (dock så är beviset lite lurigare).

Kul fråga, även om jag inte är helt säker på vad för typ av satser det är du är ute efter. Om du vill ha något som känns "uppenbart", men som i själva verket inte alls är så uppenbart rekommenderar jag detta:

Den isoperimetriska olikheten. Om du har en bit snöre med en viss längd $L$ , och vill innesluta ett så stort område som möjligt med hjälp av snöret, så bör du forma snöret till en cirkel. Arean du får då $\frac{L^2}{4\pi}$ , och det går att visa att varje annan form än en cirkel ger en mindre area (exempelvis får man $\frac{L^2}{16}$ om man formar snöret till en kvadrat).

Detta är förvånadsvärt svårt att visa. Ett sätt att göra det är att använda Greens formel, som berättar att det finns en koppling mellan att integrera på ett tvådimensionellt område och att integrera längs med kanten på området. Mer om detta (och vad det ens innebär att integrera "på ett område" eller "längd med en kurva") lär man sig i kursen flervariabelanalys på universitetet.

Om du i stället är ute efter coola satser om kontinuerliga funktioner med samma "karaktär" som satsen om mellanliggandde värde rekommenderar jag dessa två:

Brouwers fixpunktsats. I sin enklaste form säger den detta: Låt $f:[a,b]\to [a,b]$ varje en kontinuerlig funktion - dvs. en funktion som kontinuerligt "flyttar runt" punkterna på ett intervall. Då finns det en fixpunkt, alltså en punkt $x$ på intervallet $[a,b]$ som inte flyttas alls, utan som uppfyller $f(x)=x$ . Detta kan man visa med satsen om mellanliggande värde! Kommer du på hur?

Det riktigt coola är dock att man kan generalisera detta till två, tre eller fler dimensioner, och plötsligt kan man då säga saker om ihopskrynklade kartor och omrörda kaffekoppar (åtminstone om man låtsas att vi lever i en helt kontinuerlig värld). Se länken nedan! Dessa mer generella versioner är mycket svårbevisade. Det vanligaste är att man använder någon form av verktyg från en gren av matematiken som kallas för algebraisk topologi, som går ut på att översätta komplicerade problem om kontinuerliga funktioner till enkla(re) problem i algebra, men för att förstå hur sådana översättningar går till behöver man ha läst ganska mycket matematik på universitetsnivå.

Borsuk-Ulams sats. Tänk dig en kontinuerlig funktion $f:C\to \mathbb{R}$ , där definitionsmängden $C$ är en cirkel - dvs. en funktion som mäter en kontinuerligt varierande storhet längs med cirkeln $C$ . Då finns det garanterat en punkt $x$ på cirkeln, sådan att $f(x)=f(-x)$ , där $-x$ står för punkten som ligger på rakt motsatt sida av cirkeln. Om vi t.ex. antar att temperaturen varierar kontinuerligt längs med jordytan så betyder detta att det finns en punkt någonstans på ekvatorn, sådan att temperaturen är precis densamma på andra sidan jorden. Detta kan (i princip) också visas med satsen om mellanliggande värde (fundera gärna på hur!).

Och återigen, men avancerat maskineri från algebraisk topologi kan vi spica till detta genom att gå upp till högre dimensioner. Om du har en kontinuerlig funktion $f:S\to\mathbb{R}^2$ som på en och samma gång mäter två kontinuerligt varierande storheter på en sfär $S$ , så finns det en punkt $x$ på sfären sådan att $f(x)=f(-x)$ , dvs. en punkt någonstans sådan att båda storheterna har samma värde på rakt motsatt sida av sfären. Ett konkret exempel skulle kunna vara trycket och temperaturen på jordytan, om antar att dessa varierar kontinuerligt med avseende på positionen.

Coola animationer och lite allmänna reflektioner över Brouwers fixpunktsats och Borsuk-Ulams sats (och mycket annat) finns i det här klippet på youtubekanalen Vsauce.

Jag håller inte helt med om att Brouwers högredimensionella generaliseringar är svårbevisade. Det går realtivt lätt med i princip enklare flervariabelanalys (för att veta vad kontinuitet är i flera dimensioner) och lite kombinatorik (mer specifikt Sperners lemma, inklusive högre dimensioner). Se exempelvis beviset i "Proofs from the book". Det borde vara görbart att gå igenom i ett gymnasiespecialarbete.

Sant, det är en bra poäng! (Även om man kanske bör påpeka att det beviset framför allt är lätt för oss som läser det nu i efterhand; det kan knappast ha varit en självklar approach att försöka sig på på Sperners tid! :D )

Och jag håller med om att detta (och även andra kända användningar av Sperners lemma såsom detta) vore ett riktigt kul ämne för ett fördjupningsarbete på gymnasiet eller första året på ett matematikprogram. Helt klart något att ha i bakfickan för framtida undervisningssituationer!

Ett annat exempel på en sats som TS kan tänkas uppskatta är medelvärdessatsen. Om vi har en kontinuerlig funktion $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ som är deriverbar mellan ändpunkterna $a$ och $b$ , så finns det en punkt $\xi$ mellan ändpunkterna sådan att $f'{(\xi)}=\small\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Med andra ord: någonstans på intervallet kommer derivatan exakt vara lika med den genomsnittliga förändringshastigheten. Även detta resultat dyker upp i envariabelanalysen, och går om man vill att visa med satsen om mellanliggande värde!

Som ett exempel kan man fundera på hur det gick till när Usain Bolt sprang 100 meter på 9.58 sekunder. Då var medelhastigheten 10.4 m/s, och även om han knappast sprang precis med den hastigheten hela tiden, så måste det enligt medelvärdessatsen ha funnts minst ett ögonblick under de där 9.58 sekundrarna där hans hastighet (upp till tre gällande siffror i alla fall) var exakt 10.4 m/s.

För framtida fundersamma: https://sv.wikipedia.org/wiki/Satsen_om_st%C3%B6rsta_och_minsta_v%C3%A4rde

En sats som jag tycker är väldigt användbar och rätt rolig är Rational Root Theorem.

Descartes teckenregel är en lite udda sats från gränsen mellan ekvationsteori och analys. Lite svårt att förstå varför den gäller eller hur man bevisar den strikt men är väldigt lätt att förstå innebörden av och memorera, och är ganska användbar om man snabbt vill besvara kvalitativa frågor om reella rötter hos polynomekvationer.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem

En ren självklarhet!

Teraeagle skrev:
"Calculus" av Adams är bra. Den använde jag när jag läste envariabelanalys.

Den har jag nu också! Haha

Schröder-Bernsteins sats, https://sv.wikipedia.org/wiki/Urvalsaxiomet, och Cauchy Schwarz olikhet (men den visste jag nog redan när jag ställde frågan).