Val av styrelse
Frågan: "Ett företag ska utse en styrelse med 12 ledamöter. Styrelsen ska utses bland 10 män och 10
kvinnor. På hur många sätt kan valet ske om 1) det sker helt fritt? 2) det måste vara jämn
könsfördelning? 3) Det måste var ett jämnt antal kvinnor? 4) det måste vara fler kvinnor än
män och? 5) det måste vara minst åtta män?"
På den första delen (1) har jag gjort såhär:
(möjligheter)
I andra delen (2) har jag gjort såhär:
(möjligheter att hälften är kvinnor)
Sedan tror jag att jag ska göra likadant för möjligheten att hälften är män och sedan multiplicerar de två, dvs 210*210=14400, men vet ej om det är korrekt?
Därefter är jag osäker på om jag ska göra likadant för de andra villkoren (3-5), dvs räkna möjligheterna tex för att det ska vara minst 8 män och sedan multiplicera det med antalet möjligheter för att det då ska bli tex 4 kvinnor (för att fylla de resterande platserna i styrelsen)?
Du har tänkt rätt på 1 och 2.
På de andra kan du säkert lösa det på olika sätt, men ett sätt är ju att ta varje fall för sig och sedan addera, dvs, på 3 tar du antal sätt med 10 kvinnor + antal sätt med 8 kvinnor och så vidare ner till 0
Just nu kommer jag inte på något smartare sätt, men det betyder inte att det inte finns ett!
Okej så tex på 3an, om jag adderar varje fall för att det ska vara jämnt antal kvinnor så får jag
Samma gäller ju då för antalet män, eftersom om det finns 10 kvinnor måste det finnas 2 män osv, gör jag rätt då om jag multiplicerar antalet möjligheter mellan männen och kvinnorna för att få en total siffra, dvs 511*511 olika sätt som valet kan ske på?
Nej, för termerna för kvinnor och för män är inte oberoende av varandra. Om det är 2 kvinnor måste det vara 8 män, osv. Så beräkna antalet möjligheter för 0 kvinnor för sig (och därmed 10 män), 2 kvinnor (8 män) för sig, etc. Sedan addera.
Så på 3an behöver jag bara addera de olika fallen för att kvinnorna ska vara ett jämnt antal så svaret är 512 som jag skrev ovan och stanna där utan att räkna samma sak på de olika fallen för männen?
Det finns ju flera sätt att välja männen också, så de måste vara med. Om vi tar en del av problemet, hur många sätt finns det att välja styrelsen om det ska vara 8 kvinnor?
Då är det
Det är antalet sätt att välja kvinnorna. Hur många män ska väljas?
Du har ju redan löst detta på deluppgift 2, så tänk på samma sätt för att svara på Lagunas fråga!
Okej, försöker bara förstå om det är addition eller multiplikation jag ska använda efter att jag har adderat möjligheterna för kvinnorna respektive männen, men då har jag tänkt rätt om jag tar multiplikation för att få fram det slutgiltiga svaret som i uppgift 2?
josefinanord skrev:Okej, försöker bara förstå om det är addition eller multiplikation jag ska använda efter att jag har adderat möjligheterna för kvinnorna respektive männen, men då har jag tänkt rätt om jag tar multiplikation för att få fram det slutgiltiga svaret som i uppgift 2?
Kan du precisera vad det är du tänker multiplicera ihop?
Om du kan välja 2 män och 10 kvinnor på x sätt, 4 män och 8 kvinnor på y sätt, 6 män och 6 kvinnor på z sätt, 8 män och 4 kvinnor på t sätt samt 10 män och 2 kvinnor på u sätt - hur räknar du då ut hur mänga sätt styrelsen kan väljas på, om det skall vara ett jämnt antal kvinnor i styrelsen?
Alltså är detta korrekt: x + y + z + t + u = a ?
Jag tänkte först att tex på uppgift 4 (då det måste vara fler kvinnor än män) att man kan välja kvinnorna och männen på två separata sätt, dvs 10 kvinnor på a sätt och 2 män på b sätt, 9 kvinnor på c sätt och 3 män på d sätt, etcetc, som man adderar ihop och får x sätt för kvinnorna och y sätt för männen och att man sedan behövde multiplicera ihop x och y för att få en gemensam kombination, på samma sätt som jag gjorde i uppgift 2.
Såhär har jag gjort nu:
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 10 kvinnor och två män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 8 kvinnoroch 4 män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 6 kvinnor och 6män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 4 kvinnoroch 8 män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 2 kvinnor och 10 män?
Det är väl det jag har räknat på uppgift 3, antalet sätt och adderat dom?
Fråga 1: Rätt.
Fråga 2: Rätt räknat, fel skrivet. 10 över 6 är antalet möjligheter att välja ut kvinnor till styrelsen, inte exakt vad du skrev.
Fråga 3: Egendomligt få möjligheter, eller hur? Tänk på att när du har valt ut kvinnorna finns det olika möjligheter att välja männen till styrelsen.
Bubo skrev:Fråga 1: Rätt.
Fråga 2: Rätt räknat, fel skrivet. 10 över 6 är antalet möjligheter att välja ut kvinnor till styrelsen, inte exakt vad du skrev.
Fråga 3: Egendomligt få möjligheter, eller hur? Tänk på att när du har valt ut kvinnorna finns det olika möjligheter att välja männen till styrelsen.
Precis, det jag undrar på fråga 3 är då att när jag räknat sätten att välja kvinnorna och sätten att välja männen, ska jag multiplicera de två sedan? Typ som nedan
(Möjligheterna för kvinnorna) * (möjligheterna för männen) = totala möjligheter att välja styrelsen på
Smaragdalena skrev:På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 10 kvinnor och två män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 8 kvinnoroch 4 män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 6 kvinnor och 6män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 4 kvinnoroch 8 män?
På hur många olika sätt kan du välja en styrelse som består av 2 kvinnor och 10 män?
När du har räknat fram alla dessa möjligheter skall du addera ihop dem.
Du ska både multiplicera och addera, men i rätt ordning!
Jag är lite osäker på hur du tänker, men det ser inte riktigt ut som om du förstår varför man räknar som man gör på uppgift 2.
Man multiplicerar för att få antalet möjliga kombinationer. På uppgift 2 finns det 210 sätt att välja 5 män och 210 sätt att välja 5 kvinnor. De grupperna kan kombineras hur som helst. Därför tar man 210*210.
På uppgift 3 har du helt korrekt räknat ut att det finns 1 sätt att välja 10 kvinnor, 45 sätt att välja 8 kvinnor, 210 sätt att välja 6 kvinnor. Men sedan adderar du alla sätten, och då blir det fel!
Problemet är att sätten att välja ett jämt antal kvinnor kan inte kombineras hur som helst med sätten att välja ett jämt antal män. Du kan till exempel inte kombinera 8 kvinnor med 6 män, för då blir det 14 personer i styrelsen!
Det du måste göra är att räkna ut (precis som Smaragdalena säger) på hur många sätt du kan välja en styrelse som består av 10 kvinnor och 2 män. Det räknar du ut på samma sätt som du gjorde i uppgift 2. Sedan räknar du ut på hur många sätt du kan välja en styrelse som består av 8 kvinnor och 4 män, och så vidare.
När du har räknat ut alla sätten att välja en styrelse (alltså inte alla sätt att välja de kvinnor som ska ingå, utan hela styrelsen) kan du addera sätten.
Har jag förstått det rätt nu?
Eller är det detta du menar med att jag ska multiplicera?
Tyvärr inte riktigt rätt än! Att jag hänvisar till uppgift 2 hela tiden beror på att jag vill att du ska tänka som du gjorde där.
Om vi tar översta raden så har du 1 grupp med 10 kvinnor och 45 olika grupper med 2 män. Du ska sätta ihop en styrelse genom att välja en kvinnogrupp och en mansgrupp. På hur många olika sätt kan du göra det? Du har ju bara 1 kvinnogrupp att välja på, så det är enkelt. Sedan har du 45 olika mansgrupper. Antalet sätt du kan sätta ihop styrelsen på blir då 1*45.
På samma sätt resonerade du i uppgift 2. Där hade du 210 kvinnogrupper och 210 mansgrupper. De kunde du sätta ihop på 210*210 olika sätt.
Så då är det korrekt i bilden ovan där jag multiplicerade mellan leden med kvinnorna och männen?
Hjälper det om du funderar på ett mycket mindre exempel där du kan se alla kombinationerna framför dig? Säg att du har vännerna Kalle, Pelle, Torsten, Helena och Mia. Du ska sätta upp en teaterpjäs och behöver två män och en kvinna i rollerna. Hur många sätt kan du sätta ihop rollbesättningen på?
Det är rätt på den nedersta av dina båda bilder (Förmodligen fanns inte den när SvanteR började skriva sitt inlägg).
Heureka! Tack, tror jag förstår nu! Och då använder jag bara samma metod på uppgifterna 4 och 5 också?
Ja, i princip.
josefinanord skrev:Så då är det korrekt i bilden ovan där jag multiplicerade mellan leden med kvinnorna och männen?
Ja, den understa är rätt!
