Vad väcker dylika härledningar för känslor inom er (rigorösa) matematiker?

Det var ett roligt beteende. Det hade man velat se.

Japp, håller med!

Efter en del funderingar insåg jag att man inte ens behöver infinitesimaler för att framföra sådana argument. Det finns ju ett enkelt samband man kan härleda i reell analys också:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f^{-1}(y) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) = 1$

Och det är ju det man använder. Men med infinitesimaler som algebraiska objekt blir det mer inuitivt att det går.

Spontan reaktion: Jag fattar vad du menar, kan absolut köpa att det finns en viss "elegans" med att använda Leibniznotationen på det här sättet, och om du har lyckats få detta att fungera formellt med din differentialaritmetik, så är det supercoolt.

Men... jag får samtidigt lite huvudvärk av den här typen av resonemang, där man inte tydligt skiljer på funktioner och variabler, och min erfarenhet är att många studenter (även på universitetsnivå!) lätt går vilse och blandar ihop input/output och definitionmängd/målmängd när man inte är tydlig med detta. 

I en undervisningssituation hade jag nog föredragit att uttrycka sambandet mellan funktions och inversens derivata på följande vis:

Sats. Låt $f\colon A\to B$ vara en bijektion med mellan öppna mängder $A\subseteq\mathbb{R}$ och $B\subseteq\mathbb{R}$. Om $f$ är deriverbar på hela sin definitionsmängd så är inversen $f^{-1}\colon B\to A$ också deriverbar, med derivata $(f^{-1})^\prime\colon B\to \mathbb{R}$ som ges av

   ${(f^{-1})^\prime(y)}=\displaystyle\frac{1}{f^\prime(f^{-1}(y))}.$

I just ditt fall är $\operatorname{cot}$ en bijektion $(0,\pi)\to\mathbb{R}$, så $\cot^{-1}$ är en bijektion $\mathbb{R}\to(0,\pi)$ med derivata

   $\displaystyle {(\operatorname{cot}^{-1})^\prime(y)}=\frac{1}{-(\operatorname{csc}(\operatorname{cot}^{-1}(y)))^2}=-\frac{1}{(\operatorname{csc}(\operatorname{cot}^{-1}(y)))^2}=-\frac{1}{1+(\operatorname{cot}(\operatorname{cot}^{-1}(y)))^2}=-\frac{1}{1+y^2},$

där vi i tredje likheten utnyttjar att $(\operatorname{csc}(t))^2=1+(\operatorname{cot}(t))^2$.

Halvt orelaterad läste jag något annat häromdagen som jag inte tror man kan motivera direkt i reell analys. Vanligtvis använder vi följande notation för andraderivator:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2}=f''(x)$

Om vi rent symboliskt accepterar att $\displaystyle \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$ så verkar det som om:

$\displaystyle \mathrm{d^2}y=\mathrm{d}(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(f'(x)\mathrm{d}x)=\mathrm{d}x(\mathrm{d}f'(x))=\mathrm{d}x(f''(x)\mathrm{d}x)=f''(x)\mathrm{d}x^2\iff\frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2}=f''(x)$

Så det verkar som om Leibniz tänkte att $\mathrm{d}x^2$ i den notationen faktiskt är $\mathrm{d}x\cdot\mathrm{d}x$, dvs. en produkt av två infinitesimaler :D