Vad tycker ni om denna "integral"?

Halloj!

Jag sitter här med en, äh, "intressant" integral... Den ser ut på följande vis:

$\displaystyle \int_{}^{}\left(x^{\mathrm{d}x}-1\right)$

Jag har två approaches som båda faktiskt levererar samma svar. Den andra hittade jag på YouTube. 

---

Approach 1:

Vi börjar med att förlänga integranden, om man ens kan kalla det för en integrand, men $\mathrm{d}x/\mathrm{d}x$. Vi erhåller då följande integral:

$\displaystyle\int_{}^{}\left(x^{\mathrm{d}x}-1\right)=\int_{}^{}\frac{\left(x^{\mathrm{d}x}-1\right)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$

Om vi betraktar $\mathrm{d}x$ som en infinitesimal konstant (vilket man gör i t.ex. icke-standardanalys eller i Leibniz formuleringar av analysen) så kan vi säga att:

$\displaystyle \frac{x^{\mathrm{d}x}-1}{\mathrm{d}x}\approx\lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}{h}$

Således påstår jag att man kan skriva om integralen och beräkna den så här:

$\displaystyle \implies \int_{}^{}\frac{\left(x^{\mathrm{d}x}-1\right)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\approx\int_{}^{}\ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$

---

Approach 2 från YouTube:

Vi skriver om termen $x^{\mathrm{d}x}$ med basen $e$ och erhåller:

$\displaystyle \int_{}^{}\left( e^{\mathrm{d}x\ln x}-1 \right)$

Vi utvecklar vidare termen med hjälp av potensserien för $e^x$ och ser att den första termen försvinner. Vidare ser vi att:

$\displaystyle \int_{}^{}\left( e^{\mathrm{d}x\ln x}-1 \right)=\int_{}^{}\mathrm{d}x\ln x+ \int_{}^{}\frac{\left(\mathrm{d}x\right)^2\ln^2 x}{2!} +\int_{}^{}\frac{\left(\mathrm{d}x\right)^3\ln^3x}{3!} +...$

Eftersom alla integraler efter den första har en potens på infinitesimalen $\mathrm{d}x$ som är större än $1$ kan vi betrakta dem som nilpotenta ur vårt "reella" perspektiv och försumma dem. Det enda som blir kvar är då som förväntat:

$\displaystyle \int_{}^{}\mathrm{d}x\ln x = x\ln x - x + C$

---

Vad tänker ni om detta? 🙃

En kommentar från mig här är att vi betraktar integraltecknet som en operator och inte som något som "hör ihop" med differentialer, som man ofta lär sig på mer elementär nivå.