Vad står lambda för?

Har du sett 3Blue1Browns video om ämnet? Kort sagt, i många matristransformationer finns det någon eller några vektorer som inte byter riktning, de blir bara skalade. lambda är storleken på skalningen. 

Smutstvätt skrev:

Har du sett 3Blue1Browns video om ämnet? Kort sagt, i många matristransformationer finns det någon eller några vektorer som inte byter riktning, de blir bara skalade. lambda är storleken på skalningen. 

 Tack har sett den nu!

Hur kommer det sig att det(A-$\lambda$v)=0?

Menar du $\det (A-\lambda I)=0$? Jag vet inte om det du skrivit är sant. Det blir en konstig subtraktion, eftersom A är en matris (kvadratisk) och v är en kolonnvektor. 

Du letar efter (egen)vektorer och (egen)värden till matrisen A sådana att

$Ax= \lambda x$

Om vi slänger över allt på en sida så blir det

$Ax- \lambda x= 0$

Detta kan inte faktoriseras rakt av då A är en matris och lambda är en skalär, men om identitetsmatrisen multipliceras in så har du att

$Ax- \lambda I x= 0$

eller faktoriserat

$(A- \lambda I) x= 0$

Ekvationssystemet har icketriviala lösningar om koefficientmatrisens determinant är 0:

$det(A- \lambda I)= 0$

Om matrisen $A - \lambda I$ är inverterbar så har ekvationssystemet $(A-\lambda I)v = 0$ den unika lösningen

    $v = (A-\lambda I)^{-1} 0 = 0$.

Letar man efter andra lösningar är $v = 0$ till ekvationssystemet $Av = \lambda v$ så måste talet $\lambda$ vara sådant att matrisen $A-\lambda I$ är icke-inverterbar; det inträffar precis då matrisens determinant är lika med noll.

    $\det(A-\lambda I) = 0.$

Dr. G skrev:

Du letar efter (egen)vektorer och (egen)värden till matrisen A sådana att

$Ax= \lambda x$

Om vi slänger över allt på en sida så blir det

$Ax- \lambda x= 0$

Detta kan inte faktoriseras rakt av då A är en matris och lambda är en skalär, men om identitetsmatrisen multipliceras in så har du att

$Ax- \lambda I x= 0$

eller faktoriserat

$(A- \lambda I) x= 0$

Ekvationssystemet har icketriviala lösningar om koefficientmatrisens determinant är 0:

$det(A- \lambda I)= 0$

 Tack nu förstår jag mycket mer! Men hängde inte riktigt med på varför det(A-$\lambda I$)=0?

 Vi har

$(A - \lambda I)x = 0$ . 

Med icketrivial lösning menas att x är något annat än nollvektorn, nollvektorn är den triviala lösning. Vi vet för att en matris A ska ha icke triviala lösningar till ekvationen

$Ax = 0$

så måste

$det\left(A\right) = 0$.

I vårat fall får vi

$det(A - \lambda I) = 0$

för att få icke triviala lösningar x. Detta kan man lära sig mer om genom att läsa om determinanter.

Aerius skrev:

 Vi har

$(A - \lambda I)x = 0$ . 

Med icketrivial lösning menas att x är något annat än nollvektorn, nollvektorn är den triviala lösning. Vi vet för att en matris A ska ha icke triviala lösningar till ekvationen

$Ax = 0$

så måste

$det\left(A\right) = 0$.

I vårat fall får vi

$det(A - \lambda I) = 0$

för att få icke triviala lösningar x. Detta kan man lära sig mer om genom att läsa om determinanter.

 Tack!