Vad skiljer begreppen delmängd och äkta delmängd?

Hej

Jag har försökt förstå mig på skillnaden mellan en delmängd och en äkta delmängd via denna sida
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/mangdlara/begreppet-mangd

Delmängd

Att en mängd B är en delmängd av en mängd A innebär att alla element som mängden B innehåller också finns i mängden A. Att B är en delmängd av A kan vi skriva så här:

Exempel:
A={1,2,3,4,5}
B={2,3}
Detta skrivs: B⊆A

Äkta delmängd
Om mängden B är en delmängd av mängden A, men A innehåller något element som inte finns i B, då kallar vi mängden B en äkta delmängd av mängden A.

Exempel:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3}
Detta skrivs: B⊂A

I vårt tidigare exempel, där A = {1, 2, 3, 4, 5} och B = {2, 3}, gäller att B är en äkta delmängd av A, eftersom A innehåller tre element som inte finns i B.

Jag blir inte klok på varför dessa två exempel som innehåller samma mängder skrivs som både delmängd och äkta delmängd. Kan någon ge mig lite andra exempel med förklaring för att förstå dessa två bättre och när jag ska tillämpa ⊂ eller ⊆.

Om man skiljer på delmängd och äkta delmängd (alla gör inte det) så är en mängd en delmängd av sig själv, men inte en äkta delmängd av sig själv.

Äkta delmängd är ett hårdare krav, du får inte ha med alla tal från den ursprungliga mängden. Alla äkta delmängder är vanliga delmängder också.

Så om jag tex slår en hand(A) med 4 tärningar och får 1,2,3,4,6 och så slår någon av er en hand(B) med 5 tärningar samtidigt och får 1,2,3,4,5,6 så är mina tärningar både en delmängd och en äkta delmängd till era 5 tärningar?
Skulle alltså då kunna använda mig av något av de två tecken utan att det blir fel?
A⊂B
A⊆B

Om jag istället skulle slagit 5 tärningar och fått likadant som er skulle då min hand varit likadan dvs A=B
Så skriver man A⊆B?

Jeppinho skrev:
Så om jag tex slår en hand(A) med 4 tärningar och får 1,2,3,4,6 och så slår någon av er en hand(B) med 5 tärningar samtidigt och får 1,2,3,4,5,6 så är mina tärningar både en delmängd och en äkta delmängd till era 5 tärningar?
Skulle alltså då kunna använda mig av något av de två tecken utan att det blir fel?
A⊂B
A⊆B

Om jag istället skulle slagit 5 tärningar och fått likadant som er skulle då min hand varit likadan dvs A=B
Så skriver man A⊆B?

Nej, det är ju helt andra tärningar i hand A jämfört med hand B. Hand A och hand B är två olika mångder.

Det vore kanske egentligen mer pedagogiskt att kalla "delmängd av" ( $\subseteq$ ) för "delmängd av eller lika med", och "äkta delmängd av" ( $\subset$ ) för "(strikt) delmängd av". På så vis hade kanske analogin med de mer välbekanta relationerna "mindre än eller lika med" ( $\leq$ ) och "(strikt) mindre än" ( $< <annotation encoding="LaTeX"><</annotation>$ ) blivit tydligare. Men terminologin med "äkta" har sina fördelar också, så den lär nog leva vidare...

Ytterligare ett pedagogiskt problem på det här området är för övrigt att en del har fått för sig att använda symbolen $\subset$ i betydelsen "delmängd av" i stället för "äkta delmängd av", så nu kan man aldrig vara säker på vad någon menar med den symbolen. (För minimera risken för missförstånd är det därför en bra idé att undvika $\subset$ helt, och i stället använda $\subseteq$ respektive $\subsetneq$ .)

Hej Jeppinho,

När man skriver $A\subseteq B$ så tillåter man fallet då mängderna $A$ och $B$ är lika. Jämför med motsvarande beteckning för tal: Det är sant att $2 \leq 2.$
När man skriver $A \subset B$ så tillåter man inte fallet att mängderna $A$ och $B$ är lika. Jämför med motsvarande beteckning för tal: Det är inte sant att $2<2.$

Om man har:

A={1,2,3,4,5}

B={1,2,3,4,5}

så kan man kalla B en delmängd av A, men inte en äkta delmängd av A.

Tack för alla svar och förklaringar :)

Svara

Visa senaste svar