Avstånd mellan punkt och plan

En normal till planet som går genom din punkt.

Feeeeel 😱

Hej!

Såhär tänker jag.

Planet som går genom punkterna $A(1,3,-1)$ och $B(1,1,0)$ och $C(-1,3,2)$ har ekvationen

    $\displaystyle\mathbf{0} = \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-A)$

där normalvektorn är $\mathbf{n} = (B-A)\times (C-A)$.

Avståndet mellan punkten $D(7,1,5)$ och punkten $\mathbf{x}$ (som ligger i planet) är lika med $|\mathbf{x}-D|$.

Enligt Triangelolikheten gäller det att

    $\displaystyle|\mathbf{x}-D| \leq |A-D| + |\mathbf{x}-A|$

och likhet råder precis då vektorerna $A-D$ och $\mathbf{x}-A$ är parallella, det vill säga  $\mathbf{x}-A = \lambda(A-D)$ för något reellt tal $\lambda.$

Eftersom $0 = \mathbf{n} \cdot (\mathbf{x}-A)$ så följer det att $0 = \mathbf{n} \cdot \lambda(A-D),$ vilket ger talet

    $\displaystyle\lambda = \frac{\mathbf{n} \cdot A}{\mathbf{n} \cdot D}$

och vektorn

    $\displaystyle\mathbf{x} = A + \frac{\mathbf{n} \cdot A}{\mathbf{n} \cdot D}(A-D).$

Albiki

Hej!

Det blev fel i diskussionen kring talet $\lambda;$ kan bortse från mitt inlägg.

Albiki

Vad synd jag tyckte att det såg ut väldigt spännande!

Visst stämmer $0=n·(x-A)$ och kan det användas för att lösa mitt problem?

Hej Daja,

Du har tänkt och räknat helt rätt fram till lösningen av ekvationssystemet för punkten E. Där ska $s=-2$. Punkten E blir därmed $(1,-1,1)$

Edit: Hur hittar man snabbt felet? Jo, $s=\frac{4-P\cdot \mathbf{n}}{||\mathbf{n}||^2}=-2$

Jag är så fokuserad på nya sakar att min ökända slarv löper amok, som ni säger på högskoleprovska... 

Vad gjorde du med felkontroll? Det behöver jag verkligen!

Vad är 4:an?