Vad säger de här om gränsvärdet?

Inte glasklart vad du frågar om. Först har du ett problem med lösning (1), sedan ett påstående om kvoter mellan polynom (2).

(1) I problemet går x mot oändligheten. Det innebär att både täljare och nämnare går mot oändligheten. Men förkortar du med x-kvadrat så kommer nämnaren gå mot 1 och täljaren mot plus oändligheten, dvs uttrycket går mot oändligheten. Om problemet varit tvärtom, alltså täljare och nämnare hade bytt plats, skulle efter förkortning täljaren gått mot 1 och nämnaren mot oändligheten, dvs gränsvärdet hade varit noll.
   Ifall du har samma gradtal i täljare och nämnare, säg (3x+8)/(7x–5) så kan du förkorta med x och du ser att gränsvärdet när x går mot oändligheten är 3/7. Prova med x = tusen och x = en miljon så ser du att det verkar rimligt.

(2) Här påstås att en kvot mellan polynom är definierad för alla x utom för sådana som ger nämnaren = noll. Nu handlar det alltså inte om att x går mot oändligheten utan vi måste undersöka vad som händer i närheten av nämnarens nollställen.

Min fråga var vad de vill säga i den här texten. Jag är inte så bra på engelska och när jag översätter texten så blir det konstigt. 

Är det gradtalet i täljaren eller nämnaren som bestämmer gränsen?? 

Om man vill räkna/hitta gränsvärdet för en rationell uttryck ska man alltid dela täljaren och nämnaren med högsta gradtalet??

När x går mot oändligheten vinner man på att lösa ut det högsta gradtalet av x i nämnaren och sedan förkorta som de gör i exemplet.

I texten under pratar man om nollställen till nämnarens polynom. Man får ju inte dela med noll. Därför måste man vara varsam med  uttryck som t.ex.

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^3-1}$

Nu pratar vi alltså inte längre om oändligheten, utan om ett $x$ som gör att nämnaren blir noll (ett nollställe).

I uttrycket ovan får man ju noll om man råkar sätta in $x=1$ i nämnaren $Q(x)=x^3-1$ eftersom  $1^3-1=0$. Det visar sig dock att man kan räkna ut gränsvärdet ändå.

I texten påpekar man att nämnaren $Q(x)$ av grad $n$  kan ha som mest $n$, eller i vårt exempel $n=3$ nollställen. I vårt exempel är $x=1$ ett sådant nollställe (det är också det enda reella nollstället för just denna nämnare).

Edit: Fixade diverse språkliga grodor och ändrade namn på nämnaren till $Q(x)$

Tack för din förklaring!!

Så när det handlar om oändlighet det man försöker gör är att lösa ut det högsta gradtalet av x i nämnaren för att kunna förkorta bort det. 

Ja, det brukar vara en bra strategi.