Vad räknar jag för fel här?

Vi låter $Y_1$ beteckna bottenytan som då är $x^2+y^2 \le 4$
och $\int_{Y_1} + \int_Y = \iiint_K$ alltså $\int_0^2 dr \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{4-z^2}}$ = blir någonting struntsamma vad det blir.. Bara jag tänker rätt =)

Sedan så ska vi beräkna $Y_1$ som görs $\int F \cdot N dS$

där F är given ovan, och N = (0,0,-1). Så $\int F \cdot N = (-x^2-y^2+z) dS$

Men det där känns kocko, eller ska jag fortsätta med cylindriska koordinater ? Nä, något är konstigt med min normal där. Fast ändå. Neee det är ju rätt väl?

För bottenytan gäller att z = 0. Gå över till polära koordinater (i 2 dimensioner, du har ju bara två variabler x och y). Det blir en väldigt lätt integral.

mrlill_ludde skrev:
$\int_{Y_1} + \int_Y = \iiint_K$ alltså $\int_0^2 dr \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{4-z^2}}$ = blir någonting struntsamma vad det blir.. Bara jag tänker rätt =)

Ja, du har rätt i att:

$\displaystyle\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\ dS+\iint_Y\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\ dS=\iiint_K \nabla\cdot\mathbf{F}\ dV$

Däremot begriper jag inte riktigt vad du gör när du skall beräkna integralen. Divergensen blir ju:

$\nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial \mathbf{F}_x}{\partial x}+\dfrac{\partial \mathbf{F}_y}{\partial y}+\dfrac{\partial \mathbf{F}_z}{\partial z}=2-1-1=0$

Fältet är alltså källfritt vilket ger att volymintegralen blir noll:

$\displaystyle\iiint_K \nabla\cdot\mathbf{F}\ dV=\iiint_K 0\ dV=0$

Den enda integralberäkningen du faktiskt behöver göra är alltså

$\displaystyle\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\ dS$

AlvinB skrev:
mrlill_ludde skrev:
$\int_{Y_1} + \int_Y = \iiint_K$ alltså $\int_0^2 dr \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{4-z^2}}$ = blir någonting struntsamma vad det blir.. Bara jag tänker rätt =)

Ja, du har rätt i att:
$\displaystyle\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\ dS+\iint_Y\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\ dS=\iiint_K \nabla\cdot\mathbf{F}\ dV$
Däremot begriper jag inte riktigt vad du gör när du skall beräkna integralen. Divergensen blir ju:
$\nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial \mathbf{F}_x}{\partial x}+\dfrac{\partial \mathbf{F}_y}{\partial y}+\dfrac{\partial \mathbf{F}_z}{\partial z}=2-1-1=0$
Fältet är alltså källfritt vilket ger att volymintegralen blir noll:
$\displaystyle\iiint_K \nabla\cdot\mathbf{F}\ dV=\iiint_K 0\ dV=0$
Den enda integralberäkningen du faktiskt behöver göra är alltså
$\displaystyle\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\ dS$

Jo precis. Om divF=0 , ska man inte hålla på och räkna med integraler då?

Om man integrerar 0 så blir det 0.

Svara

Visa senaste svar