Vad menas med detta?

plzhelpmath skrev:

Förstår inte vad som menas med detta, förstår inte varför derivatan av elongationen skulle bli hastigenheten och andraderivatan blir acceleration. Jag kan förstår hur de flesta ekvationerna byggs men inte _varför_ det är så? 

Den texten var inte alls tydlig med att det handlar om derivator med avseende på tid.

Medelhastighet beräknas ju som ${\bar v} = \dfrac{{\rm \Delta}s}{{\rm \Delta}t}$ och momentan hastighet är tidsderivatan $v = \dfrac{{\rm d}s(t)}{{\rm d}t}.$

Tidsderivatan kan även skrivas med pricknotation som ${\dot s}$, men bara ett prim-tecken är inte entydig alls. 

Liknande uttryck för acceleration, $a = \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t} v\left(t\right) = \dfrac{{\rm d^2}s(t)}{{\rm d}t^2 } = {\ddot s}.$

plzhelpmath skrev:

"Vi ser att funktionen y = Asin(wt) är en lösning till differentialekvationen om bara vinkelhastigheten w uppfyller villkoret -w^2 + k/m = 0" Förstår ingenting alls vad som menas här.

De har ansatt $y=A\sin \left(\omega t\right)$ som lösning, och därefter fått fram ekvationen $Asin\left(\omega t\right)*(-{\omega }^2+\frac{k}{m})=0$. Detta medför att en av faktorerna är 0. Så för att få en icke-trivial lösning (där $A\sin \left(\omega t\right)\ne 0$, dvs inte är konstant 0) måste den andra faktorn vara 0.

"Från matematiken vet vi att varken sin(ωt) eller cos(ωt) kan bli större än 1 och inte mindre än −1. Det innebär att den maximala hastigheten är ωA och den maximala accelerationen är ω2A."
Vad menas här? Varför betyder det att max v och max a är dessa?

Deriverar du funktionen $y=A\sin \left(\omega t\right)$ och utnyttjar egenskaperna hos sinus och cosinus får du att $y\text{'}$ (dvs hastigheten) har det maximala beloppet $A\omega$ och $y\text{'}\text{'}$ (accelerationen) får det maximala beloppet $A{\omega }^2$