Vad menar dem?

Man vill ju hitta hennes hastighet i $x=4$ enligt texten. "Hur kan vi bestämma hennes hastighet dvs kurvans lutning när x=4". Hennes hastighet varierar ju under dessa 10 sekunder (icke konstant). Så man drar en tangnet till den punkten man har intresse av. Om du vill hitta hennes hastighet i x=6 till exempel, då drar du en tangent till x=6 och gör exakt samma sak som de gjorde. Alternativt så deriverar du $x^2$ och stoppar in den punkten du vill ha. $f(x)=x^2$ och lutningen i x=4 ges av

$f'(4) = 2 \cdot 4 = 8$, $f'(6)=6 \cdot 2=12$ så hennes hastighet i x=6 är 12m/s osv.
Men jag tror du var nog mest förvirrad över varför de använde x = 4 och de är helt enkelt för man var ville veta lutningen i den punkten. Man hade kunnat välja x=6 också, det spelar ingen roll egentligen. Principen var att visa hur det hela hänger ihop med derivata och tangenter osv.

Dracaena skrev:

Man vill ju hitta hennes hastighet i $x=4$ enligt texten. "Hur kan vi bestämma hennes hastighet dvs kurvans lutning när x=4". Hennes hastighet varierar ju under dessa 10 sekunder (icke konstant). Så man drar en tangnet till den punkten man har intresse av. Om du vill hitta hennes hastighet i x=6 till exempel, då drar du en tangent till x=6 och gör exakt samma sak som de gjorde. Alternativt så deriverar du $x^2$ och stoppar in den punkten du vill ha. $f(x)=x^2$ och lutningen i x=4 ges av

$f'(4) = 2 \cdot 4 = 8$, $f'(6)=6 \cdot 2=12$ så hennes hastighet i x=6 är 12m/s osv.
Men jag tror du var nog mest förvirrad över varför de använde x = 4 och de är helt enkelt för man var ville veta lutningen i den punkten. Man hade kunnat välja x=6 också, det spelar ingen roll egentligen. Principen var att visa hur det hela hänger ihop med derivata och tangenter osv.

Tack! Om du kollar på frågan igen så undrar jag också varför de just tar punkten (2,0) och (10,60) och beräknar lutningen. Varför tog dem inte bara (4,15) och ett annat värde? 

En tangent är en rätlinje och kan beskrivas som $y_t=kx+m$, detta betyder att lutningen är konstant. Du hittar lutningen för en rät linje som vanligt men det fiffiga här är att du kan välja vilka punkter du vill precis som om du hade hittat k-värdet för vilken rät linje som helst. Man väljer oftast punkter som är långt ifrån varandra eftersom du får en bättre approximation än om du väljer punkterna väldigt nära. Man brukar också ta punkterna som är enklast. (2,0) är ju väldigt enkel och det är ju också (10,60), det är hela tal, det är precis på kanten av en kvadrat så vi kan avläsa den exakt och det är maximal distans ifrån varandra. 

Dracaena skrev:

En tangent är en rätlinje och kan beskrivas som $y_t=kx+m$, detta betyder att lutningen är konstant. Du hittar lutningen för en rät linje som vanligt men det fiffiga här är att du kan välja vilka punkter du vill precis som om du hade hittat k-värdet för vilken rät linje som helst. Man väljer oftast punkter som är långt ifrån varandra eftersom du får en bättre approximation än om du väljer punkterna väldigt nära. Man brukar också ta punkterna som är enklast. (2,0) är ju väldigt enkel och det är ju också (10,60), det är hela tal, det är precis på kanten av en kvadrat så vi kan avläsa den exakt och det är maximal distans ifrån varandra. 

"Man väljer oftast punkter som är långt ifrån varandra eftersom du får en bättre approximation än om du väljer punkterna väldigt nära." 

Här förstod jag inte så mycket. Vi är ju med om att en rät linje är konstant och har ett konstant k värde. Det borde väl kvitta vilka punkter man använder sig av för k-värdet kommer fortfarande bli samma. Det är ju samma lutning oavsett vilka två punkter vi använder

"...det är precis på kanten av en kvadrat så vi kan avläsa den exakt och det är maximal distans ifrån varandra. "

Förstod inte vad du menade. 

Sammanfattningsvis menar jag att du det är enklast att välja punkter som är lätta att läsa av. du kan ju ta en punkt på kurvan där du kanske kan gissa vad x och y värdet är eller så tar du en punkt där du kan avläsa det exakta värdet. Att de är precis på kanten av en kvadrat menade jag mer att den går att avlösa exakt. xy-planet befinner sig i ett rutat block och precis i slutet av en ruta så kan man avläsa (10,60). Om man drar en tangent så den skär axlarna så har man en enkel punkt att läsa av, tar man nu en annan punkt som är enkel att avläsa kommer det ge dig bästa approximationen på k. Detta är dock endast en approximation eftersom du kommer aldrig dra en perfekt tangent. Detta kan du notera då deras k-värde är 7.5 men det faktiska värdet är egentligen 8 som du kan få fram genom derivatan. 

Fysikguden1234 skrev:

"Man väljer oftast punkter som är långt ifrån varandra eftersom du får en bättre approximation än om du väljer punkterna väldigt nära." 

 

Här förstod jag inte så mycket. Vi är ju med om att en rät linje är konstant och har ett konstant k värde. Det borde väl kvitta vilka punkter man använder sig av för k-värdet kommer fortfarande bli samma. Det är ju samma lutning oavsett vilka två punkter vi använder

Det spelar roll om du ska läsa av ungefärliga x- och y-koordinater.

Försök till exempel att beräkna följande linjes lutning.

• Vad får du för resultat om du använder punkterna A och B?
• Vad får du för resultat om du använder punkterna A och C?

(Rätt lutning är ungefär 0,45)

Dracaena skrev:

Sammanfattningsvis menar jag att du det är enklast att välja punkter som är lätta att läsa av. du kan ju ta en punkt på kurvan där du kanske kan gissa vad x och y värdet är eller så tar du en punkt där du kan avläsa det exakta värdet. Att de är precis på kanten av en kvadrat menade jag mer att den går att avlösa exakt. xy-planet befinner sig i ett rutat block och precis i slutet av en ruta så kan man avläsa (10,60). Om man drar en tangent så den skär axlarna så har man en enkel punkt att läsa av, tar man nu en annan punkt som är enkel att avläsa kommer det ge dig bästa approximationen på k. Detta är dock endast en approximation eftersom du kommer aldrig dra en perfekt tangent. Detta kan du notera då deras k-värde är 7.5 men det faktiska värdet är egentligen 8 som du kan få fram genom derivatan. 

Intressant! Så när man drar en tangent kan man aldrig få ett exakt värde på k? Det har jag faktiskt aldrig lärt mig om. För om vi vet det exakta y- och x-värdet i två punkter så borde vi väl veta det exakta värdet på k, alltså lutningen? 

Yngve skrev:

Fysikguden1234 skrev:

"Man väljer oftast punkter som är långt ifrån varandra eftersom du får en bättre approximation än om du väljer punkterna väldigt nära." 

 

Här förstod jag inte så mycket. Vi är ju med om att en rät linje är konstant och har ett konstant k värde. Det borde väl kvitta vilka punkter man använder sig av för k-värdet kommer fortfarande bli samma. Det är ju samma lutning oavsett vilka två punkter vi använder

Det spelar roll om du ska läsa av ungefärliga x- och y-koordinater.

Försök till exempel att beräkna följande linjes lutning.

• Vad får du för resultat om du använder punkterna A och B?
• Vad får du för resultat om du använder punkterna A och C?

(Rätt lutning är ungefär 0,45)

Jag vet inte det exakta yvärdet på respektive punkt så det är omöjligt att med säkerhet avgöra. Fast lutningen mellan AB och AC är ju exakt lika. Det är en rät linje med samma lutning. Vi får ju endast en bättre approximation av att avända två punkter som ligger längre ifrån varandra om vi INTE vet de exakta värdena på x och y.  

Dracaena skrev:

Sammanfattningsvis menar jag att du det är enklast att välja punkter som är lätta att läsa av. du kan ju ta en punkt på kurvan där du kanske kan gissa vad x och y värdet är eller så tar du en punkt där du kan avläsa det exakta värdet. Att de är precis på kanten av en kvadrat menade jag mer att den går att avlösa exakt. xy-planet befinner sig i ett rutat block och precis i slutet av en ruta så kan man avläsa (10,60). Om man drar en tangent så den skär axlarna så har man en enkel punkt att läsa av, tar man nu en annan punkt som är enkel att avläsa kommer det ge dig bästa approximationen på k. Detta är dock endast en approximation eftersom du kommer aldrig dra en perfekt tangent. Detta kan du notera då deras k-värde är 7.5 men det faktiska värdet är egentligen 8 som du kan få fram genom derivatan. 

Om derivatan nu är 8. Varför säger dem att dervitans värde är 7,5? Varför är dem inte lite mer tydligare för de får det att se ut som att det är ett exakt värde som jag faktiskt trodde

Fysikguden1234 skrev:

Intressant! Så när man drar en tangent kan man aldrig få ett exakt värde på k? Det har jag faktiskt aldrig lärt mig om. För om vi vet det exakta y- och x-värdet i två punkter så borde vi väl veta det exakta värdet på k, alltså lutningen? 

Det stämmer. Du kommer aldrig att kunna rita en tangent med exakt korrekt lutning om du endast har en (icke-linjär) kurva att utgå från och om du inte känner till motsvarande funktionsuttryck.

Det stämmer även att om du känner till de exakta koordinaterna för två punkter så kan du beräkna ett exakt värde på k, oavsett hur nära punkterna ligger varandra.

Fysikguden1234 skrev:

Jag vet inte det exakta yvärdet på respektive punkt så det är omöjligt att med säkerhet avgöra. Fast lutningen mellan AB och AC är ju exakt lika. Det är en rät linje med samma lutning. Vi får ju endast en bättre approximation av att avända två punkter som ligger längre ifrån varandra om vi INTE vet de exakta värdena på x och y.  

Det stämmer.

Fysikguden1234 skrev:

Om derivatan nu är 8. Varför säger dem att dervitans värde är 7,5? Varför är dem inte lite mer tydligare för de får det att se ut som att det är ett exakt värde som jag faktiskt trodde

Det är precis det vi har pratat om nu. De vill illustrera att om du gör en uppskattning av derivatans värde i en punkt med hjälp av en grafisk metod (dvs att rita in en ungefärlig tangent och beräkna dess lutning) så blir det endast ett närmevärde till derivatans värde i den punkten.

Yngve skrev:

Fysikguden1234 skrev:

Om derivatan nu är 8. Varför säger dem att dervitans värde är 7,5? Varför är dem inte lite mer tydligare för de får det att se ut som att det är ett exakt värde som jag faktiskt trodde

Det är precis det vi har pratat om nu. De vill illustrera att om du gör en uppskattning av derivatans värde i en punkt med hjälp av en grafisk metod (dvs att rita in en ungefärlig tangent och beräkna dess lutning) så blir det endast ett närmevärde till derivatans värde i den punkten.

Tack för ditt svar! Men om vi backar bandet lite. Är inte (2,0) och (10,60) exakta x-värden och y-värden? Eller är de bara väldigt nära det egentliga x och y? 

Fysikguden1234 skrev:.

Tack för ditt svar! Men om vi backar bandet lite. Är inte (2,0) och (10,60) exakta x-värden och y-värden? Eller är de bara väldigt nära det egentliga x och y? 

1. Det spelar ingen roll om punkternas koordinater är exakta eller inte. De har ritat en rät linje på fri hand, dvs de har ritat en ungefärlig tangent ungefär i punkten med x-koordinaten 2. Även om punkternas koordinater är exakta och alltså kan ge ett exakt värde på just den linjens lutning så betyder det inte att derivatan har just det värdet i punkten med x-koordinaten 2. Sannolikheten att de har lyckats rita in en exakt tangent på exakt rätt ställe är närmast obefintlig.
2. När du läser av koordinater i ett koordinatsystem så ska du alltid betrakta avläsningarna som närmevärden. Så (2,0) och (10,60) är inte exakta värden, bara närmevärden som är avlästa på koordinataxlarna.

Yngve skrev:

Fysikguden1234 skrev:.

Tack för ditt svar! Men om vi backar bandet lite. Är inte (2,0) och (10,60) exakta x-värden och y-värden? Eller är de bara väldigt nära det egentliga x och y? 

1. Det spelar ingen roll om punkternas koordinater är exakta eller inte. De har ritat en rät linje på fri hand, dvs de har ritat en ungefärlig tangent ungefär i punkten med x-koordinaten 2. Även om punkternas koordinater är exakta och alltså kan ge ett exakt värde på just den linjens lutning så betyder det inte att derivatan har just det värdet i punkten med x-koordinaten 2. Sannolikheten att de har lyckats rita in en exakt tangent på exakt rätt ställe är närmast obefintlig.
2. När du läser av koordinater i ett koordinatsystem så ska du alltid betrakta avläsningarna som närmevärden. Så (2,0) och (10,60) är inte exakta värden, bara närmevärden som är avlästa på koordinataxlarna.

Då förstår jag bättre tack. 

Yngve skrev:

Fysikguden1234 skrev:.

Tack för ditt svar! Men om vi backar bandet lite. Är inte (2,0) och (10,60) exakta x-värden och y-värden? Eller är de bara väldigt nära det egentliga x och y? 

1. Det spelar ingen roll om punkternas koordinater är exakta eller inte. De har ritat en rät linje på fri hand, dvs de har ritat en ungefärlig tangent ungefär i punkten med x-koordinaten 2. Även om punkternas koordinater är exakta och alltså kan ge ett exakt värde på just den linjens lutning så betyder det inte att derivatan har just det värdet i punkten med x-koordinaten 2. Sannolikheten att de har lyckats rita in en exakt tangent på exakt rätt ställe är närmast obefintlig.
2. När du läser av koordinater i ett koordinatsystem så ska du alltid betrakta avläsningarna som närmevärden. Så (2,0) och (10,60) är inte exakta värden, bara närmevärden som är avlästa på koordinataxlarna.

Hur får man en exakt tangent?

Jag tycker det borde vara ytterligare ett komma i meningen som det gällde:

"... hennes hastighet, d.v.s. kurvans lutning, när x = 4".

Om man vill ha en exakt tangent så tar man reda på det exakta funktionsvärdet i punkten, och den exakta derivatan där.