Vad krävs för deriverbarhet

Frågan är lite väl allmänt ställd, pratar vi om en funktion i en eller flera varibler, över reella eller komplexa tal, på vad för slags mängd?

Men några saker kan man ändå säga:

Om du ska visa att en funktion är deriverbar finns ingen anledning att visa att den är kontinuerlig först, deriverbar implicerar kontinuerlig. Om du vill visa att en funktion inte är deriverbar i en punkt är det tillräckligt men inte nödvändigt att visa att den inte är kontinuerlig i den punkten men för att visa deriverbarhet får du inte ut ett smack av att visa att den är kontinuerlig.

Det är lite oklart för mig exakt vad du menar med "delfunktion" men 2. låter onödigt starkt, du behöver inte visa att en ingående delfunktion är deriverbar på hela sin definitionsmängd. 

Det är som sagt lite oklart vad du menar med delfunktion men enkla metoder som låter oss avgöra deriverbarhet i de flesta fall:

1) Alla polynom är deriverbara överallt, e^x är deriverbar överallt, cos x och sin x är deriverbara överallt, rotfunktioner är deriverbara överallt där de är definierade.

2) Om f(x) och g(x) är deriverbara i en punkt a så är (f+g)(x), (f-g)(x), (fg)(x) deriverbara i a. (f/g)(x) är deriverbar i a om g(a) inte är 0.

3) Om g(x) är deriverbar i a och f(x) är deriverbar i g(a) så är f(g(x)) deriverbar i a.

4) Om f har en kontinuerlig invers g och f är deriverbar i a är inversen g deriverbar i f(a).

Om dessa regler inte är tillräckliga för att avgöra om någon funktion är deriverbar så får man nästan gå till definitionen.

I ditt exempel då: du kan använda reglerna ovan för att visa att funktionen är deriverbar i alla punkter utom x=0.

För x=0 får du använda defintionen av deriverbarhet.

Så det räcker med att visa att  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$

existerar?  samt att e^(-1/x^2) är kontinuerlig?

Du behöver inte visa att e^(-1/x^2) är kontinuerlig.

För att visa deriverbarhet i x=0 behöver du visa att gränsvärdet existerar.

I övriga punkter följer deriverbarhet av reglerna ovan.

Typ så här:

1) x^2 är polynom så deriverbar överallt.

2) -1 är polynom så deriverbar överallt.

3) kvoten -1/x^2 är enligt regel 2 deriverbar överallt där x^2 är nollskilt, dvs -1/x^2 är deriverbar överallt utom i noll.

4) e^x är deriverbar överallt så av regel 3 tre följer att e^(-1/x^2) är deriverbar överallt där -1/x^2 är deriverbar, dvs överallt utom i 0.

Din funktion är identisk med e^(-1/x^2) på alla intervall som inte inkluderar 0, så deriverbar överallt utom i 0.

Sedan återstår att avgöra 0.

Så för noll visar jag att gränsvärdet som jag skrev i tidigare inlägget existerar?

Ja

Tack!