Vad ingår i extremvärdena

Maximi- och minivärden är extremvärden. Ändpunkter måste inte ha extremvärden men extremvärdena kan finnas  i ändpunkterna.

Du bör också skilja mellan extrempunkt och extremvärde. Extrempunkt är själva punkten ex. (2,20), Extremvärdet är värdet i punkten, i mitt exempel f(x)=20

Okej, så även de globala maximipunkterna och minimipunkterna är extremvärden? (för i min bok beskriver de extremvärden som lokala maximipunkter och lokala minimpunkter)? Eller är det för att de globala minimi- och maximipunkterna ingår i de lokala maximi- och minimipunkter? 

Så det kallas extremvärden fast det egentligen är extrempunkter?

Tack på förhand

Återigen då. En punkt är inte ett värde. Ett värde finns i en viss punkt. Extremvärden kan finnas i de globala maximi- och minimipunkterna, ja. 

Extrempunkt refererar till själva punkten. Extremvärde refererar till själva värdet i punkten. 

Det är en liten förvirring, såhär står det till. I matte 3 och 4 handlar många derivatauppgifter om verkliga ting, tex maximera arean av en hönsgård med begränsat med galler. Då brukar funktionsvärdet vid extrempunkten vara det intressanta (maximal area), därför kallar man den för extremvärde.

Extrempunkt är egentligen bara x-koordinaten. y=x^2 har extrempunkten x=0 och extremvärdet y=0

Qetsiyah skrev:

Det är en liten förvirring, såhär står det till. I matte 3 och 4 handlar många derivatauppgifter om verkliga ting, tex maximera arean av en hönsgård med begränsat med galler. Då brukar funktionsvärdet vid extrempunkten vara det intressanta (maximal area), därför kallar man den för extremvärde.

Extrempunkt är egentligen bara x-koordinaten. y=x^2 har extrempunkten x=0 och extremvärdet y=0

Nja. "Punkt" kan väl inte bara vara en koordinat om du har den i ett tvådimensionellt koordinatsystem? Punkten utgörs av både en xkoordinat en y-koordinat. ?

Edit: Tydligen så är det så för just begreppet "extrempunkt". Där ser man.

Jo, faktiskt. Det är en petig sak jag lärde mig nyligen också. Vet inte varför den kallas så. På wiki står det såhär:

Elementet i definitionsmängden där funktionen antar ett extremum kallas extrempunkt.

Hmm får kolla på det. I så fall känns det som en dum terminologi men är det så, så är det så.

Men i min bok skriver de att när de skriver maximipunkt och minimipunkt så menar dem lokala maximipunkter och minimipunkter, men om man då har en funktion där man inte fått defintionsmängden innebär det då att eftersom man inte kan beräkna ändpunkternas värde så då är det enbart de punkter där f'(x)=0 som man ska svara (om frågan är vad maximipunkten och minimipunkten har för koordinat?)

Tack på förhand

Kravet f'(x)=0 säkerhetsställer ej att x är en minimipunkt eller maximipunkt. T.ex. är f'(x)=0 för x=0 om f(x)=x^3, men x är varken en minimipunkt eller maximipunkt (utan en terrasspunkt).

Om x uppfyller f'(x)=0 kallas x stationär punkt. Sedan får vidare studier av omgivning till x (t.ex. genom teckenstudie) visa om x är en minimipunkt eller maximipunkt.

Men när man inte har defintionsmängden i en graf då kan man ju inte finna extremvärden i ändpunkter, men trots att man har en bild på grafen i boken där man inte ser ändpunkter och ingen defintionsmängd är given kallar de de extrempunkter de finner för lokala. Varför kan man inte kalla dessa globala då det blir de största respektive minsta värdet i grafen.

Tack på förhand

Om de lokala extremvärdena är de största/minsta värdena av alla, så är de globala extremvärden också, inte annars. En tredjegradskurva, exempelvis, saknar största och minsta värde.

Men om vi då har en graf utan defintionsmängd då blir ju dem även globala? Eller kan man inte finna globala extrempunkter om det inte finns en defintionsmängd för då finns det alltid lägre/högre värden?

Varför saknar en tredejgradskurva största och minsta värde?

Tack på förhand

Rita upp kurvorna, så ser du. Om du behöver mer hjälp, så lägg upp bilderna här så kan vi diskutera vidare.

I exempelvis denna d uppgift. Varför har den inte ett globalt maximivärde. Jag tycker att den har det eftersom vi inte har ändpunkter.

Tack på förhand

Bilden visar endast en del av grafen.

Den fortsätter i oändlighet både åt vänster och åt höger.

Funktionsvärdet fortsätter att stiga mer och mer ju längre åt höger (och vänster) vi kommer.

Det finns ingen övre gräns för hur stort funktionsvärdet blir. Alltså finns det inget globalt maximivärde.

Ahh, så för att få globala maximivärden och minimivärden måste vi ha en definitionsmängd där vi har ändpunkter. Så om man exempelvis har att 4<X<10 då har vi inga ändpunkter och om dessa ändpunkter x=4 och x=10 hade gett grafen dess högsta värde och minsta värde så har vi inga globala maximivärden och minimivärden! Men man skulle kunna få globala extrempunkter trots att vi har en definitionsmängd där ändpunkterna inte ingår om det är så att om x hade antagit det värdet hade vi inte fått ett större/mindre extremvärde än i någon av de andra punkterna!

tack på förhand

852sol skrev:

Ahh, så för att få globala maximivärden och minimivärden måste vi ha en definitionsmängd där vi har ändpunkter. Så om man exempelvis har att 4<X<10 då har vi inga ändpunkter och om dessa ändpunkter x=4 och x=10 hade gett grafen dess högsta värde och minsta värde så har vi inga globala maximivärden och minimivärden! Men man skulle kunna få globala extrempunkter trots att vi har en definitionsmängd där ändpunkterna inte ingår om det är så att om x hade antagit det värdet hade vi inte fått ett större/mindre extremvärde än i någon av de andra punkterna!

tack på förhand

Jag är inte säker på att jag förstår vad du menar.

Det kan finnas globala maximipunkter (minimipunkter) oavsett om definitionsmängden är begränsad eller inte.

Exempel:

• Om $x=0$ ingår i definitionsmängden för $f(x)=x^2$ så har $f(x)$ en global minimipunkt i origo, oavsett om definitionsmängden i övrigt är begränsad eller inte.
• Om $x=0$ ingår i definitionsmängden för $f(x)=-x^2$ så har $f(x)$ en global maximipunkt i origo, oavsett om definitionsmängden i övrigt är begränsad eller inte.

Okej, så i vissa fall behöver inte grafen vara begränsad för att vi ska kunna se extremvärdena, då det ibland är uppenbart att det inte kan finnas ett större/mindre värde.

Tack på förhand

852sol skrev:

Okej, så i vissa fall behöver inte grafen vara begränsad för att vi ska kunna se extremvärdena, då det ibland är uppenbart att det inte kan finnas ett större/mindre värde.

Tack på förhand

Ja. Så är det exempelvis med alla polynomfunktioner (om vi kan se tillräckligt stor del av grafen så att alla stationära punkter syns).

Även om du inte stött på följande ännu så gör du nog det snart: Det gäller även alla logaritmfunktioner och exponentialfunktioner, helt enkelt eftersom de saknar stationära punkter.