Vad har jag för användning av symmetrilinjen?

I denna uppgift skall du kvadratkomplettera

$x^2+bx+c=(x+b/2)^2-b^2/4+c$

Detta är en konvex andragradsfunktion som har sitt minimum när $x+b/2=0$ d.v.s. $x=-b/2$.

Om nu $(3,-6)$ var minimupunkten har vi ekvationen $3=-b/2$ och $b=-6$.

Alltså har vi att $(x+b/2)^2-b^2/4+c=(x-3)^2-36/4+c$

Det minsta värde $(x-3)^2-36/4+c$ kan anta (vilket sker när $x=3$) är $-36/4+c$ vilket skulle vara 6, d.v.s. $-36/4+c=6$ vilket ger $c=3$.

Alltså har vi funktionen $f(x)=x^2-6x+3$

Ett annat sätt att tänka är följande:

Funktionen $f(x)=x^2+bx+c$ har symmetrilinje $x=-\frac{b}{2}$.

Detta vet vi eftersom nollställena enligt pq-formeln ligger på var sin sida om och lika långt ifrån just denna linje.

Minimipunkten är $(3;-6)$, vilket innebär att symmetrilinjen är $x=3$.

Det ger oss att $3=-\frac{b}{2}$, dvs $b=-6$.

Nu har vi bestämt värdet av $b$ och vi kan då skriva $f(x)=x^2-6x+c$.

Eftersom vi vet att $f(3)=-6$ så kan vi nu enkelt bestämma $c$ genom att lösa ekvationen $-6=3^2-6\cdot3+c$

----------

Fråga: Det står "Bestäm konstanterna a och b" men det gäller väl b och c?

Yngve skrev:

Ett annat sätt att tänka är följande:

Funktionen $f(x)=x^2+bx+c$ har symmetrilinje $x=-\frac{b}{2}$.

Detta vet vi eftersom nollställena enligt pq-formeln ligger på var sin sida om och lika långt ifrån just denna linje.

Minimipunkten är $(3;-6)$, vilket innebär att symmetrilinjen är $x=3$.

Det ger oss att $3=-\frac{b}{2}$, dvs $b=-6$.

Nu har vi bestämt värdet av $b$ och vi kan då skriva $f(x)=x^2-6x+c$.

Eftersom vi vet att $f(3)=-6$ så kan vi nu enkelt bestämma $c$ genom att lösa ekvationen $-6=3^2-6\cdot3+c$

----------

Fråga: Det står "Bestäm konstanterna a och b" men det gäller väl b och c?

Det är faktiskt jag som skrivit fel, det står faktiskt bestäm konstanterna b och c. 

En fråga dock. Jag vet att för att räkna ut symmetrilinje så tar man nollställerna, adderar de tillsammans och delar på 2. Därför är jag lite förvirrad till varför du använder formeln $x=-\frac{b}{2}$. Vad är b här? Och varför är det ett negativt tecken innan?

Hypn0tic skrev:

Det är faktiskt jag som skrivit fel, det står faktiskt bestäm konstanterna b och c. 

En fråga dock. Jag vet att för att räkna ut symmetrilinje så tar man nollställerna, adderar de tillsammans och delar på 2. Därför är jag lite förvirrad till varför du använder formeln $x=-\frac{b}{2}$. Vad är b här? Och varför är det ett negativt tecken innan?

Om $f(x)=x^2+bx+c$ så kan du hitta nollställena genom att använda pq-formeln. Enligt den har ekvationen $x^2+bx+c=0$ lösningarna $x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}$.

Det betyder att det ena nollstället ligger vid $x_1=-\frac{b}{2}-\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}$ och det andra vid $x_2=-\frac{b}{2}+\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}$.

Medelvärdet av dessa värden är $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2}$, vilket betyder att symmetrilinjen är $x=-\frac{b}{2}$.

Pq-formeln är enkel och mycket användbar. Den följer direkt ur kvadratkompletteringen som Trinity2 beskrev:

Eftersom $f(x)=(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c$ så lyder ekvationen $f(x)=0$ på följande sätt:

$(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c=0$

$(x+\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2-c$

$x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}$

$x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}$