Vad har gränsvärde med derivatan att göra?

I am Me skrev:

Vad har gränsvärde med derivatan att göra? Varför behöver man först titta på om gränsvärdet för en viss punkt finns för att kunna veta om det är driverbar eller inte??

Läs här, de båda kapitlen om derivata.

Behövde kort svar. 

Deriverbarhet är ett mycket mer strikt krav än kontinuitet. 

Exempelvis är |x| kontinuerlig på hela R men är inte deriverbar i $x=0$ eftersom högergränsvärdet, dvs $x \rightarrow 0^+$ går mot något helt annat än vänstergränsvrädet, $x \rightarrow 0^-$. 

Derivatan definieras med hjälp av differenskvoter. Det är täljare och nämnare som varierar beroende t ex på x. Då kan nämnaren bli 0 för vissa x-värden och division med 0 är ju otillåten. Det är då man behöver gränsvärden.

Tack för era svar. Det är bara mycket satser och bevis som gör det svårt att hålla allt i huvudet så jag blandar vad som är vad.

Ok, gränsvärde är ju det värde uttrycket eller funktionen antar när variabeln närmar sig det värde variabeln går mot. Jag förstår hur gränsvärde och kontinuitet hänger ihop. Men jag har inte förstått kopplingen mellan driverbarhet och gränsvärdet. 

Derivatan definieras som ett gränsvärde. Hur skulle du kunna ha en derivata utan gränsvärde?

Om du vill se kopplingen mellan allt så får du läsa lite mer!

2. är precis som mitt exempel med |x|.