Vad händer om man har ett irrationellt tal som exponent?

naytte skrev:

Frågan står i titeln. Om man grafar exempelvis $y=x^{\mathrm{\pi }}$ på desmos verkar funktionen endast vara definierad i en första kvadranten. Detta finner jag något skumt eftersom den också borde vara definierad för negativa $x$ (om den är definierad för positiva $x$).

Jag skulle vilja ha hjälp med att förstå det här beteendet.

Dessutom undrar jag hur man ska gå tillväga i allmänhet om man ska beräkna ett generellt $a^{\mathrm{\pi }}$. Ska man bara ta ett rationellt närmevärde då, som exempelvis $\frac{22}{7}$?

Om vi jämför med något enklare, t ex x^½ så är det också definierat för positiva värden på x men inte för negativa. Vad är det som är underligt med att det är likadant för ett krångligare värde?

Jag tror inte den jämförelsen fungerar. $y=\sqrt{x}$ är visserligen inte definierat för $x<0$ men exempelvis $y=\sqrt[3]{x}$ är ju det. Det beror bara på om det är en jämn eller udda rot man tar. När det kommer till $\mathrm{\pi }$ kan vi ju inte säga något om huruvida det är jämnt eller inte. Så jag förstår inte riktigt jämförelsen.

Om vi förutsätter att exponenten är reell här, så är potensfunktionen inte definierad på någon ”kvadrant” utan på hela eller på icke-negativa reella axeln.

Vad tycker du att t.ex. $(-2)^\pi$ borde bli? $2^\pi$, $-2^\pi$ eller något annat?

naytte skrev:

Jag tror inte den jämförelsen fungerar. $y=\sqrt{x}$ är visserligen inte definierat för $x<0$ men exempelvis $y=\sqrt[3]{x}$ är ju det. Det beror bara på om det är en jämn eller udda rot man tar. När det kommer till $\mathrm{\pi }$ kan vi ju inte säga något om huruvida det är jämnt eller inte. Så jag förstår inte riktigt jämförelsen.

Varför skulle "upphöjt till $\pi$" påminna mer om tredje roten än andra roten? Jag visade bara att det inte fungerar för ALLA bråk, så det finns ingen direkt anledning till att det skulle funka för irrationella tal.

Smaragdalena skrev:

naytte skrev:

Jag tror inte den jämförelsen fungerar. $y=\sqrt{x}$ är visserligen inte definierat för $x<0$ men exempelvis $y=\sqrt[3]{x}$ är ju det. Det beror bara på om det är en jämn eller udda rot man tar. När det kommer till $\mathrm{\pi }$ kan vi ju inte säga något om huruvida det är jämnt eller inte. Så jag förstår inte riktigt jämförelsen.

Varför skulle "upphöjt till $\pi$" påminna mer om tredje roten än andra roten? Jag visade bara att det inte fungerar för ALLA bråk, så det finns ingen direkt anledning till att det skulle funka för irrationella tal.

Jag tycker inte det påminner mer om det ena eller det andra. Men jag förstår inte jämförelsen. Pi är ju irrationellt, men 1/2 är väldigt rationellt. Vad har rationella exponenter med irrationella exponenter att göra?

Ett bra tips: sök på youtube 

finns massor av roliga idéer där. Vet inte om detta hjälper med är lite roligt: https://www.youtube.com/watch?v=XZGyvK1nw6c