Vad händer med perioden?

Ska lösa:

$\sin x \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ,

när jag löste den så tänkte jag inte på det där med sinus för dubbla vinkeln vilket hade gjort räkningen mycket enklare. Utan jag gjorde om sin x enligt trig. ettan så att ekvationen blev $\sqrt{1 - \cos^{2} x} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Enligt mig så är det inga konstigheter med den omskrivningen. Men det konstiga här är att svaret på frågan (som man får av sinus dubbla vinkel metoden) är:

$\frac{π}{6} + n \cdot π o c h \frac{π}{3} + n \cdot π$

men jag får

$\frac{π}{6} + n \cdot 2 π o c h \frac{π}{3} + n \cdot 2 π$

med min lösning. Alltså har jag ett helt varv som period medan riktiga lösningen bara har ett halvt.

Tänkte självklart att jag råkade missa något som skulle dividera bort 2an i min lösning. Men när jag la in

$\sqrt{1 - \cos^{2} x} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ i tex symbolab så ger denna just den lösningen jag hade fått och inte den riktiga. Så nu kommer alltså funderingen. Vad är det som gör att jag genom att skriva om sin x till $\sqrt{1 - \cos^{2} x}$ så blir det fel period? Enligt mig så har jag ju faktiskt inte ändrat på ekvationen.

För att när du löser den skapar du en falsk rot genom kvadrering.

Jag testar ju de lösningarna jag får och de fungerar. Hur skulle jag göra för att få rätt lösning? För det måste ju gå att göra på det sättet jag gjort på.

Jaha, jag kollade inte på dina lösningar ens innan jag svarade. Ursäkta mig. Symbolab kan inte interpretera ditt ursprungliga uttryck. Tänk på att:

$\sqrt{x^2} \neq x$ om $x<>$

Detta ger ett felaktigt resultat genom en lösare. Hur hade du löst ditt uttryck utan en lösare? Du har:

$(1-\cos^2\left(x\right))\cdot \cos^2\left(x\right)=\dfrac{3}{16}$

Där vi vet att:

$\cos^2\left(x\right)-\cos^4\left(x\right)=\dfrac{1-\cos\left(4x\right)}{8}$

Vi får:

$\cos\left(4x\right)=-1/2$

Alltså:

$x=\pm\dfrac\pi6+n\cdot\dfrac{\pi}{2}\;,\;n\in\mathbb{Z}$

Vi har alltså introducerat falska rötter genom denna lösning. Lösare så som Symbolab eller Wolfram alpha antar att:

$\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{\sin^2(x)} = \sin\left(x\right)$

Detta gäller enbart om $\sin(x) \geq 0$ eller $0\leq x\leq \pi$ vilket är varför lösningarna $7\pi/6$ och $4\pi/3$ inte matades ut av lösaren.

Svara

Visa senaste svar