Vad händer med ena lösningen?

Edit 2: Är det så att svaret i=0 är 0, och därför inte skrivs ut, och därför är det inte en del av lösningen? Eller tänker jag fel? (Kan man få flera olika lösningar för i?)

Skepnad skrev:

Hej. Suttit fast på en uppgift ett tag men har tillslut lyckats ta mig fram till ett svar (nästan)

"Bestäm talet z=x+iy om

a) 3z-2z=1-10i

Sätter in z=x-iy och z med x+iy och får

$3(x-iy)-2(x+iy)=1-10i$

$3x-3iy-2x-2iy=1-10i \Rightarrow x-5iy-1+10i$

Samlar reella och imaginära tal för sig.

$(x-1)+i(10-5y)=0$. Som jag nu förstår det så ska de reella talen (Re z) tillsammans bli 0, och de imaginära talen (Im z) tillsammans bli 0. Vilket ger:

Re z = $(x-1)=0 \iff x=1$

Allt är rätt fram hit, förutom att (x-1) inte är realdelen av z, utan istället realdelen av det komplexa talet I vänsterledet.

Im z = $i(10-5y)=0$.

Men det här stämmer inte.

Det gäller att imaginärdelen av det komplexa talet i västerledet är 10-5y.

Här vill jag säga att i=0 är en lösning och i=2 en annan. (edit: kanske ska vara =2i? Har lite svårt att hänga med i hur man ska skriva när det kommer till imaginära tal) Men facit ger bara svaret.

Den inaginära enheten i är ett välbestämt komplext tal, det är ingen obekant storhet som x och y.

Det gäller alltså inte att i = 0, inte heller att i = 2.

z=1+2i. Var tar lösningen i=0 vägen? (Antar det är något jag missar, då vi just hoppat in på reella tal)*

Se ovan. Talet i är inte en obekant storhet.

=====

Fortsättningen på din lösning bör alltså vara att x = 1 och y = 2, vilket ger svaret z = 1+2i.

Yngve skrev:

Skepnad skrev:

Hej. Suttit fast på en uppgift ett tag men har tillslut lyckats ta mig fram till ett svar (nästan)

"Bestäm talet z=x+iy om

a) 3z-2z=1-10i

Sätter in z=x-iy och z med x+iy och får

$3(x-iy)-2(x+iy)=1-10i$

$3x-3iy-2x-2iy=1-10i \Rightarrow x-5iy-1+10i$

Samlar reella och imaginära tal för sig.

$(x-1)+i(10-5y)=0$. Som jag nu förstår det så ska de reella talen (Re z) tillsammans bli 0, och de imaginära talen (Im z) tillsammans bli 0. Vilket ger:

Re z = $(x-1)=0 \iff x=1$

Allt är rätt fram hit, förutom att (x-1) inte är realdelen av z, utan istället realdelen av det komplexa talet I vänsterledet.

Im z = $i(10-5y)=0$.

Men det här stämmer inte.

Det gäller att imaginärdelen av det komplexa talet i västerledet är 10-5y.

Här vill jag säga att i=0 är en lösning och i=2 en annan. (edit: kanske ska vara =2i? Har lite svårt att hänga med i hur man ska skriva när det kommer till imaginära tal) Men facit ger bara svaret.

Den inaginära enheten i är ett välbestämt komplext tal, det är ingen obekant storhet som x och y.

Det gäller alltså inte att i = 0, inte heller att i = 2.

z=1+2i. Var tar lösningen i=0 vägen? (Antar det är något jag missar, då vi just hoppat in på reella tal)*

Se ovan. Talet i är inte en obekant storhet.

=====

Fortsättningen på din lösning bör alltså vara att x = 1 och y = 2, vilket ger svaret z = 1+2i.

Efter att ha sovit på saken och läst igenom ditt svar tänker jag nu såhär:

Tekniskt sett har vi en ekvation där VL=HL. Så efter att jag landar vid punkten:
$x-5yi=1-10i$

Så kan man se VL som ett komplext tal och HL som ett komplext tal. Dem delar som är okända är x och y, där x är "Re z", och  y är "Im z" för VL. Eftersom vi vet att VL=HL får vi: x=1 och $-5yi=-10i \iff 5yi=10i \iff y=2(vilket är den imaginära delen av VL)$

Alltså VL= "z=1+2i"? (Där x=1 och y=2), men eftersom y axeln (i det komplexa planet) motsvarar "i" så byter man ut y mot i, och x byts bara ut mot den siffra det motsvarar. Har jag förstått rätt?

Är det inte enklare att se x-5yi = 1-10i som två komplexa tal som är lika? Detta innebär att de båda talens realdel är lika, och att imaginärdelarna är lika. Alltså gäller det att x = 1  och att -5y = -10, så y = 2. Detta betyder att ditt z = x+yi = 1+2i.

Smaragdalena skrev:

Är det inte enklare att se x-5yi = 1-10i som två komplexa tal som är lika? Detta innebär att de båda talens realdel är lika, och att imaginärdelarna är lika. Alltså gäller det att x = 1  och att -5y = -10, så y = 2. Detta betyder att ditt z = x+yi = 1+2i.

Jo jag håller helt och hållet med dig. Jag skrev att jag såg dem som varsitt komplexa tal som ska vara lika med sin motsvarande del (imaginär=imaginär, och reell=reell). När du skriver -5y=-10 så hänger jag inte med 100% hur man ska tänka rent matematiskt. Delar man bara bort i? (Tänker hur jag kan formulera mig på en tenta t.ex)

Edit: (Det jag tycker är svårast med matematiken är att formulera sig på rätt sätt) (Det "matematiska språket"), sen är det såklart mängder av regler att hålla koll på också! :D Sen vet jag inte om min atypiska autism gör det lättare eller svårare för mig. Jag tar allt väldigt bokstavligt, och kan tänka väldigt fyrkantigt. Vilket gör vissa delar lätta, men andra delar blir svåra (som t.ex. abstrakta saker)

Ja, det är nog bara så att det inte riktigt har satt sig ännu hos dig vad som avses med real- respektive imaginärdel av ett komplext tal.

Allmänt gäller att om vi har ett komplexa tal w = a+bi, där a och b är reella tal, så gäller det att

• Realdelen av w är lika med a (realdelen är alltså ett reellt tal)
• Imaginärdelen av w är lika med b, inte bi (imaginärdelen är alltså även det ett reellt tal)

Både real- och imaginärdelen är alltså reella tal.

Exempel:

Om w = 2+3i så gäller det att realdelen av w är 2 och imaginärdelen av w är 3.

Obs, imaginärdelen är inte 3i

Imaginärdelen av det komplexa talet 

Läs gärna mer om detta här.

Yngve skrev:

Ja, det är nog bara så att det inte riktigt har satt sig ännu hos dig vad som avses med real- respektive imaginärdel av ett komplext tal.

Allmänt gäller att om vi har ett komplexa tal w = a+bi, där a och b är reella tal, så gäller det att

• Realdelen av w är lika med a (realdelen är alltså ett reellt tal)
• Imaginärdelen av w är lika med b, inte bi (imaginärdelen är alltså ett reellt tal)

Både real- och imaginärdelen är alltså reella tal.

Exempel:

Om w = 2+3i så gäller det att realdelen av w är 2 och imaginärdelen av w är 3.

Obs, imaginärdelen är inte 3i

Imaginärdelen av det komplexa talet 

Läs gärna mer om detta här.

Tusen tack för förklaringen. Ska läsa på länken du skickade. (Har läst igenom förklaringen i boken ett par gånger, men som du säger tog det ett tag innan jag "trodde" mig förstå), och det visar sig jag inte helt förstått :)

När du skriver "w=2+3i" är "w" bara ett annat sätt att skriva "z" på? Har inte stött på det i boken än.

Tack igen!

När du skriver "w=2+3i" är "w" bara ett annat sätt att skriva "z" på? Har inte stött på det i boken än.

Ja. Man kan använda vilken bokstav som helst för att betyda ett komplext tal (bara man berättar att det är det man gör). Det kan vara vettigt att använda olika bokstäver för olika tal, men man skulle kunna kalla dem z₁, z₂ och så vidare men z och w är enklare (åtminstone för mig).

Skepnad skrev:

När du skriver "w=2+3i" är "w" bara ett annat sätt att skriva "z" på? Har inte stött på det i boken än.

Nej, det är inte så att alla komplexa tal kallas z, lika lite som att alla reella tal har samma namn.

Exempel:

När det gäller en rätvinklig triangel så kan vi t.ex. kalla sidlängderna a, b och c.

I det här fallet är a, b och c olika reella tal.

Det är alltså inte så att de olika reella talen alla heter a.

På samma sätt, om vi har en uppgift med flera olika komplexa tal så behöver vi kunna benämna dessa med olika symboler. Då används ofta z, w och så vidare. Se vidare Smaragdalenas svar.