Vad händer med en summa då antalet element n går mot oändligheten?

Hej,

Frågan lyder: " Undersök vad som händer med summan av en geometrisk talföljd om $|k| < 1$ och antalet element går mot oändligheten". Jag förstår inte absolutbeloppet av k här. Är inte absolutbeloppet av ett tal positivt? uttrycket säger ju att k är mindre än 1 vilket enligt min tolkning som förmodligen är fel blir motsägelsefull så där är jag inte med.

Jag tänkte att jag skulle beteckna allting med hjälp av derivatans definition men jag kom ingenvart där. Vet inte första steget hur jag ska sätta in värden och strukturera om för att utnyttja den så jag skrev följande istället:

Låt $a_{1} = 4 a_{2} = 2 a_{3} = 1 k = \frac{1}{2}$ $\to S_{\infty} = a_{1} \times \frac{1 + {(- \frac{1}{2})}^{\infty}}{1 - \frac{1}{2}} = 8$

Jag fick ju 8 som svar och då tänker jag att summan blir ett fast värde varje gång beroende på vad kvoten och den geometriska talföljden är. Det bästa hade ju givetvis varit om man kunde visa rent allmänt vad som händer med summan för absolutbeloppet av k mindre än 1.

Absolutbelopp används ofta för att "sammanfatta" intervall. |k| < 1 betyder att k är ett tal som är större än -1 men mindre än 1, dvs $-1 <k<1$ . Precis som du säger så ger ju absolutbeloppet ett positivt tal, så olikheten |k| < 1 tillåter negativa k-värden (men inte vilka negativa k som helst, eftersom deras absolutbelopp fortfarande ska vara mindre än 1). T.ex. om k=-0.5 blir ju |k| = |-0.5| = 0.5, vilket är mindre än 1 och därmed ingår i intervallet man pratar om.

Svara