Vad händer här? (partiell integration)

Jag kan inte följa vad som händer ifrån VL till slutliga HL,

$\int { }^{x^3}{e}^{-x^2} dx =\hspace{0.17em}\{t=x^2 , dt=2x\} = \frac{1}{2}\int t{e}^{-t} dt =\frac{1}{2}\left(t\right(-e^{-t} )-\int (-e^{-t} )dt = \frac{1}{2} (-t{e}^{-t}-e^{-t})+C =\hspace{0.17em}-\frac{1}{2}(x^2+1)e^{-x^2}+C$

Formeln för partiell integration är $\int f\left(x\right)g\left(x\right) =\hspace{0.17em}F\left(x\right)g\left(x\right) - \int F\left(x\right)g\text{'}\left(x\right) dx$.  För mig så ser det ur som att det bara räknas med g(x) och inte alls med f(x).

Vad är det jag missar?