Vad händer egentligen inom konvergensradien för en serie?
Hej!
När jag ska beräkna så använder jag att den geometriska serien och
deriverar den två gånger för att få ett uttryck som liknar serien jag ska beräkna för x=1/2.
För termvis derivering av en serie så måste seriens funktionsföljd vara likformigt konvergent, och det är den i kompakta delmängder inom konvergensradien som i detta fall är 1. Hur vet jag är inom en sådan här delmängd när jag deriverar? Mitt x är uppenbart mindre än 1. Räcker det helt enkelt att det finns en omgivning runt sitt x? I detta fall så vet jag ju att för ett godtyckligt litet .
Räcker det?
1. Det finns satser som säger att om en funktionsserie är likformigt konvergent så är den deriverade serien också konvergent. Det torde innebära att konvergensradien för den deriverade serien inte kan minska. Detsamma gäller om man integrerar termerna.
2. Om den deriverade serien har konvergensradie >=1 så räcker det att det finns en epsilon-omgivning inom konvergensradien.
Okej, tack för svar!
