Vad gör man med styrbarhetsgraminanen?

Hej!

Styrbarhetsgraminanen (controllabillity gramian) definieras som:

$W_{c} = \int_{0}^{\infty} e^{A t} B B^{T} e^{A^{T} t} d t$

Där B är insignalmatrisen för en tillståndsmodell och $e^{A t}$ är övergångsmatrisen för en tillståndsmodell och T är transponatet.

Men vad gör man med styrbarhetsgraminanen?

Kan man kolla hur styrbart en tillståndsmodell är? Om JA: Visa. Detta är intressant :)

Det finns en styrsignal som kan ta systemet från tillståndet $x_0$ vid tiden $t_0$ till tillståndet $x_1$ vid tiden $t_1 > t_0$ om $x_1 - e^{A(t_1-t_0)} x_0$ tillhör kolumnrummet till styrbarhetsgramianen. Dvs, om skillnaden mellan det önskade tillståndet och tillståndet som systemet skulle gå till med styrsignalen noll ligger i kolumnrummet. Styrbarhetsgramianen talar alltså om hur du kan förändra tillståndet för systemet jämfört med hur det skulle utveckla sig med insignal 0. Om Styrbarhetsgramianen har full radrang så är systemet styrbart för då kan du uppnå vilket tillstånd som helst.

Vad jag minns brukar man bara tala om ifall systemet är styrbart eller inte, inte något mått på hur styrbart det är. Men det skulle kunna vara rangen (eller därmet bestämma underrummet som går att styra) eller hur nära singulär styrbarhetsgramianen är enligt något matrisnorm kanske.

Svara