Vad gör jag för fel i mitt resonemang? Hitta lösningar till ekvation på ett visst intervall

Hade en fråga på dagens tenta som löd: $x^4-2x^2+x+1=0$, där man skulle hitta alla eventuella lösningar på intervallet [-1,0]. 

Jag inledde med att förenkla polynomet till ${\left(x^2-1\right)}^2 + x$, vilket i sin tur kan skrivas till ${\left(x^2-1\right)}^2=-x$, vilket jag vill påstå saknar lösning eftersom oavsett värde på vänsterledet så blir det positivt när man tar det i kvadrat. Alltså VL ≠ HL. Därför svarade jag att ekvationen saknade lösning och sedan lämnade jag frågan.

Nu ser jag på GeoGebra när jag slår in funktionen att den visst har en lösning på intervallet. Vad är fel i mitt resonemang? 

En tilläggsfråga: 

Kan någon förklara hur man ska lösa uppgiften? Deriverar man funktionen och sätter den = 0 för att finna max/min-punkter så får man $4x^3-4x+1=0$. Jag har lärt mig att vid tredjegradsekvationer ska man försöka börja med att "gissa en lösning". Har man väl hittat en lösning så kan man genom faktorsatsen och polynomdivision hitta de andra två lösningarna. Men hur jag än testar med x = 0, x = -1, x = -1/2, x = -1/4 m.m. så kan jag inte hitta ett x-värde som löser ekvationen. Vad ska jag göra? 

Tack på förhand!